Uma amostra aleatória de 12 empresas, clientes de um mesmo fornecedor, divulgou os valores abaixo, referentes ao valor (em \mathrm{R} \ 1000,00$ ) que cada uma dessas empresas gastou com manutenção na reposição de seus estoques durante o primeiro semestre de 2009.
5 7 5 6,1 7,5 8,6 7,52 5,5 6,2 6,6 7,9 8,4
Calcule a variância.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a variância da amostra. Dados fornecidos (valores em \mathrm{R}\$\,1000):
5,\;7,\;5,\;6,1,\;7,5,\;8,6,\;7,52,\;5,5,\;6,2,\;6,6,\;7,9,\;8,4.
Informações relevantes:
n=12
Os dados são uma amostra aleatória de 12 empresas (não toda a população).

Passo 2

Escolha do método: como temos uma amostra (não a população inteira), vamos calcular a variância amostral usual, que usa denominador n-1. Vou explicar a fórmula e o que cada símbolo significa:
Fórmula da variância amostral:
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_{i}-\bar{x}\bigr)^{2},
onde
  • s^{2} é a variância amostral (o que estamos calculando);
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=12);
  • x_{i} são os valores observados (os do enunciado);
  • \bar{x} é a média amostral, definida por \displaystyle \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}.
Explicação didática curta: a variância mede a dispersão dos x_{i} em relação à média \bar{x}. Somamos os quadrados das diferenças x_{i}-\bar{x} para não ter cancelamento de sinais, e dividimos por n-1 para obter um estimador não viesado da variância populacional quando usamos uma amostra.

Passo 3

Calcular a média amostral \bar{x}.
Soma dos valores (peguei diretamente os números do enunciado):
\sum_{i=1}^{12} x_i = 81,32.
Logo
\bar{x}=\frac{81,32}{12}=\frac{2033}{300}\approx 6,7766667.

Passo 4

Calcular as diferenças x_{i}-\bar{x} e seus quadrados (x_{i}-\bar{x})^{2}. É conveniente expressar \bar{x}=\dfrac{2033}{300}, então cada diferença fica com denominador 300 e o quadrado com denominador 90\,000. Vou mostrar cada um (usei os valores exatamente retirados do enunciado):
  1. Para x_1=5:
x_1-\bar{x}=5-\frac{2033}{300}=-\frac{533}{300},\qquad (x_1-\bar{x})^{2}=\frac{284089}{90000}\approx 3,1565444444.
  1. Para x_2=7:
x_2-\bar{x}=\frac{67}{300},\qquad (x_2-\bar{x})^{2}=\frac{4489}{90000}\approx 0,0498777778.
  1. Para x_3=5 (mesmo que x_1):
(x_3-\bar{x})^{2}=\frac{284089}{90000}\approx 3,1565444444.
  1. Para x_4=6,1:
x_4-\bar{x}=-\frac{203}{300},\qquad (x_4-\bar{x})^{2}=\frac{41209}{90000}\approx 0,4578777778.
  1. Para x_5=7,5:
x_5-\bar{x}=\frac{217}{300},\qquad (x_5-\bar{x})^{2}=\frac{47089}{90000}\approx 0,5232111111.
  1. Para x_6=8,6:
x_6-\bar{x}=\frac{547}{300},\qquad (x_6-\bar{x})^{2}=\frac{299209}{90000}\approx 3,3245444444.
  1. Para x_7=7,52:
x_7-\bar{x}=\frac{223}{300},\qquad (x_7-\bar{x})^{2}=\frac{49729}{90000}\approx 0,5525444444.
  1. Para x_8=5,5:
x_8-\bar{x}=-\frac{383}{300},\qquad (x_8-\bar{x})^{2}=\frac{146689}{90000}\approx 1,6298777778.
  1. Para x_9=6,2:
x_9-\bar{x}=-\frac{173}{300},\qquad (x_9-\bar{x})^{2}=\frac{29929}{90000}\approx 0,3325444444.
  1. Para x_{10}=6,6:
x_{10}-\bar{x}=-\frac{53}{300},\qquad (x_{10}-\bar{x})^{2}=\frac{2809}{90000}\approx 0,0312111111.
  1. Para x_{11}=7,9:
x_{11}-\bar{x}=\frac{337}{300},\qquad (x_{11}-\bar{x})^{2}=\frac{113569}{90000}\approx 1,2618777778.
  1. Para x_{12}=8,4:
x_{12}-\bar{x}=\frac{487}{300},\qquad (x_{12}-\bar{x})^{2}=\frac{237169}{90000}\approx 2,6352111111.

Passo 5

Somar todos os quadrados das diferenças:
Somando os numeradores (todos com denominador 90\,000) obtive
\sum_{i=1}^{12}(x_i-\bar{x})^{2}=\frac{1\,540\,068}{90\,000}\approx 17,1118666667.
(cheque rápido: somando as aproximações dos quadrados dá também 17,1118666667.)

Passo 6

Aplicar a fórmula da variância amostral:
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}=\frac{1}{11}\cdot 17,1118666667\approx 1,5556242424.
Em forma racional exata (simplificando) temos
s^{2}=\frac{1\,540\,068}{990\,000}=\frac{128339}{82\,500}\approx 1,5556242424.
Unidades: como os x_i estão em \mathrm{R}\$\,1000, a variância está em (\mathrm{R}\$\,1000)^{2}. Se quiser em \mathrm{R}\$ ao quadrado, multiplique por 10^{6}: s^{2}\approx 1{,}555624\times 10^{6}\\ \mathrm{R}\$^{2}.

Resposta

s^{2}\approx 1,5556242424\;(\mathrm{R}\$\,1000)^{2}

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