Uma amostra aleatória de 12 empresas, clientes de um mesmo fornecedor, divulgou os valores abaixo, referentes ao valor (em
1000,00$ ) que cada uma dessas empresas gastou com manutenção na reposição de seus estoques durante o primeiro semestre de 2009.
5
7
5
6,1
7,5
8,6
7,52
5,5
6,2
6,6
7,9
8,4
Calcule a variância.
| 5 | 7 | 5 | 6,1 | 7,5 | 8,6 | 7,52 | 5,5 | 6,2 | 6,6 | 7,9 | 8,4 |
Passo 1
O enunciado pede para calcular a variância da amostra. Dados fornecidos (valores em
):
Informações relevantes:
Os dados são uma amostra aleatória de
empresas (não toda a população).
Passo 2
Escolha do método: como temos uma amostra (não a população inteira), vamos calcular a variância amostral usual, que usa denominador
. Vou explicar a fórmula e o que cada símbolo significa:
Fórmula da variância amostral:
onde
-
é a variância amostral (o que estamos calculando); -
é o tamanho da amostra (aqui ); -
são os valores observados (os do enunciado); -
é a média amostral, definida por .
Explicação didática curta: a variância mede a dispersão dos
em relação à média
. Somamos os quadrados das diferenças
para não ter cancelamento de sinais, e dividimos por
para obter um estimador não viesado da variância populacional quando usamos uma amostra.
Passo 3
Calcular a média amostral
.
Soma dos valores (peguei diretamente os números do enunciado):
Logo
Passo 4
Calcular as diferenças
e seus quadrados
. É conveniente expressar
, então cada diferença fica com denominador
e o quadrado com denominador
. Vou mostrar cada um (usei os valores exatamente retirados do enunciado):
- Para
:
- Para
:
- Para
(mesmo que ):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Somar todos os quadrados das diferenças:
Somando os numeradores (todos com denominador
) obtive
(cheque rápido: somando as aproximações dos quadrados dá também
.)
Passo 6
Aplicar a fórmula da variância amostral:
Em forma racional exata (simplificando) temos
Unidades: como os
estão em
, a variância está em
. Se quiser em
ao quadrado, multiplique por
:
.