- INSPIRADO NO STEWART (Cinemática de Mecanismos) Um sistema biela-manivela clássico em um motor de combustão interna possui uma manivela de raio
e uma biela de comprimento
. A manivela gira no sentido anti-horário a uma velocidade angular constante de
. Determine a velocidade linear do pistão no instante em que o ângulo da manivela com a linha de centro horizontal for
radianos
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
-
Dados do enunciado:
- Raio da manivela:
. - Comprimento da biela:
. - Velocidade angular da manivela:
. - Ângulo da manivela:
radianos ( ) no instante pedido.
- Raio da manivela:
-
Pedido:
- Determinar a velocidade linear do pistão no instante em que
.
- Determinar a velocidade linear do pistão no instante em que
Passo 2
Escolher uma coordenada e escrever a posição do pistão em função de
, explicando a geometria.
- Geometria: o pino da manivela descreve a posição
. A biela liga esse pino ao pistão, que se desloca ao longo do eixo horizontal. Se for a posição do pistão medida a partir do centro da manivela (linha central horizontal), a relação geométrica é
- Explicação dos termos:
-
é a projeção horizontal do pino da manivela. -
é a projeção horizontal da biela, obtida pela relação pitagórica na conexão biela–pino–pistão.
-
- Observação: apenas a forma desta função será necessária para achar a velocidade via diferenciação.
Passo 3
Converter a velocidade angular de RPM para rad/s.
- Primeiro transformar rotações por minuto em rotações por segundo:
- Agora converter para radianos por segundo:
Passo 4
Derivar a posição
em relação ao tempo para obter a velocidade do pistão
. Mostrar diferenciação passo a passo.
- Temos
. - Aplicando a regra da cadeia (
):
- Calcular
: - Derivada de
em relação a é . - Para a raiz, escreva
com . Então
- Aqui
. - Assim a contribuição da raiz é
- Derivada de
- Somando as partes:
- Multiplicando por
:
Passo 5
Avaliar numericamente cada termo no instante
e com os valores dados.
- Valores trigonométricos:
- Valores físicos em metros:
- Calcular
:
- Raiz:
- Calcular os termos individuais:
- Razão:
- Soma dentro dos parênteses:
Passo 6
Multiplicar pelo valor de
para obter a velocidade e interpretar o sinal.
- Multiplicando:
- Interpretação do sinal: o resultado negativo indica que, com a escolha de
medida a partir do centro da manivela para a direita, o pistão está se movendo no sentido de diminuir naquele instante (ou seja, movendo-se em direção à manivela).