1. INSPIRADO NO STEWART (Cinemática de Mecanismos) Um sistema biela-manivela clássico em um motor de combustão interna possui uma manivela de raio \boldsymbol{R}=\mathbf{1 0} \boldsymbol{c m} e uma biela de comprimento \boldsymbol{L}=\mathbf{2 5} \boldsymbol{c m}. A manivela gira no sentido anti-horário a uma velocidade angular constante de 3000 \boldsymbol{R P M}. Determine a velocidade linear do pistão no instante em que o ângulo da manivela com a linha de centro horizontal for \operatorname{de} \boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{\pi} / \mathbf{3} radianos \left(60^{\circ}\right).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados do enunciado:
    • Raio da manivela: R = 10\\ \text{cm} = 0,10\\ \text{m}.
    • Comprimento da biela: L = 25\\ \text{cm} = 0,25\\ \text{m}.
    • Velocidade angular da manivela: 3000\\ \text{RPM}.
    • Ângulo da manivela: \theta = \pi/3 radianos ( 60^\circ) no instante pedido.
  • Pedido:
    • Determinar a velocidade linear do pistão no instante em que \theta = \pi/3.

Passo 2

Escolher uma coordenada e escrever a posição do pistão em função de \theta, explicando a geometria.
  • Geometria: o pino da manivela descreve a posição (x_p,y_p) = (R\cos\theta,\,R\sin\theta). A biela liga esse pino ao pistão, que se desloca ao longo do eixo horizontal. Se x for a posição do pistão medida a partir do centro da manivela (linha central horizontal), a relação geométrica é
x(\theta)=R\cos\theta+\sqrt{L^{2}-R^{2}\sin^{2}\theta}.
  • Explicação dos termos:
    • R\cos\theta é a projeção horizontal do pino da manivela.
    • \sqrt{L^{2}-R^{2}\sin^{2}\theta} é a projeção horizontal da biela, obtida pela relação pitagórica na conexão biela–pino–pistão.
  • Observação: apenas a forma desta função será necessária para achar a velocidade via diferenciação.

Passo 3

Converter a velocidade angular de RPM para rad/s.
  • Primeiro transformar rotações por minuto em rotações por segundo:
3000\\ \text{RPM} = \frac{3000}{60}\\ \text{rev/s} = 50\\ \text{rev/s}.
  • Agora converter para radianos por segundo:
\omega=\dot{\theta}=2\pi\cdot 50=100\pi\\ \text{rad/s}\approx 314,159\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Derivar a posição x(\theta) em relação ao tempo para obter a velocidade do pistão v=\dfrac{dx}{dt}. Mostrar diferenciação passo a passo.
  • Temos x(\theta)=R\cos\theta+\sqrt{L^{2}-R^{2}\sin^{2}\theta}.
  • Aplicando a regra da cadeia ( dx/dt = (dx/d\theta)\cdot(d\theta/dt)):
\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{d\theta}\,\frac{d\theta}{dt}.
  • Calcular \dfrac{dx}{d\theta}:
    • Derivada de R\cos\theta em relação a \theta é -R\sin\theta.
    • Para a raiz, escreva g(\theta)=\sqrt{u(\theta)} com u(\theta)=L^{2}-R^{2}\sin^{2}\theta. Então
    \frac{d}{d\theta}\sqrt{u}=\frac{u'}{2\sqrt{u}}.
    • Aqui u'(\theta)=-2R^{2}\sin\theta\cos\theta.
    • Assim a contribuição da raiz é
    \frac{d}{d\theta}\sqrt{L^{2}-R^{2}\sin^{2}\theta}=\frac{-2R^{2}\sin\theta\cos\theta}{2\sqrt{L^{2}-R^{2}\sin^{2}\theta}}=-\frac{R^{2}\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{L^{2}-R^{2}\sin^{2}\theta}}.
  • Somando as partes:
\frac{dx}{d\theta}=-R\sin\theta-\frac{R^{2}\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{L^{2}-R^{2}\sin^{2}\theta}}.
  • Multiplicando por \dfrac{d\theta}{dt}=\omega:
\frac{dx}{dt}=\omega\left(-R\sin\theta-\frac{R^{2}\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{L^{2}-R^{2}\sin^{2}\theta}}\right).

Passo 5

Avaliar numericamente cada termo no instante \theta=\pi/3 e com os valores dados.
  • Valores trigonométricos: \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866025,\qquad \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}=0,5.
  • Valores físicos em metros: R=0,10\\ \text{m},\qquad L=0,25\\ \text{m},\qquad \omega=100\pi\\ \text{rad/s}\approx 314,159\\ \text{rad/s}.
  • Calcular L^{2}-R^{2}\sin^{2}\theta: L^{2}=0,25^{2}=0,0625,\qquad R^{2}\sin^{2}\theta=0,10^{2}\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=0,01\cdot\frac{3}{4}=0,0075,
L^{2}-R^{2}\sin^{2}\theta=0,0625-0,0075=0,055.
  • Raiz: \sqrt{L^{2}-R^{2}\sin^{2}\theta}=\sqrt{0,055}\approx 0,2345208\\ \text{m}.
  • Calcular os termos individuais: R\sin\theta=0,10\cdot 0,866025=0,0866025\\ \text{m},
R^{2}\sin\theta\cos\theta=0,01\cdot(0,866025\cdot 0,5)=0,004330127.
  • Razão: \frac{R^{2}\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{L^{2}-R^{2}\sin^{2}\theta}} =\frac{0,004330127}{0,2345208}\approx 0,0184679\\ \text{m}.
  • Soma dentro dos parênteses: -R\sin\theta-\frac{R^{2}\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{L^{2}-R^{2}\sin^{2}\theta}} =-(0,0866025+0,0184679)=-0,1050704\\ \text{m}.

Passo 6

Multiplicar pelo valor de \omega para obter a velocidade e interpretar o sinal.
  • Multiplicando: \frac{dx}{dt}=\omega\cdot(-0,1050704)\approx 314,159\cdot(-0,1050704)\\ \text{m/s}\approx -33,0\\ \text{m/s}.
  • Interpretação do sinal: o resultado negativo indica que, com a escolha de x medida a partir do centro da manivela para a direita, o pistão está se movendo no sentido de diminuir x naquele instante (ou seja, movendo-se em direção à manivela).

Resposta

-33,0\\ \text{m/s}

Exercícios relacionados