- INSPIRADO NO STEWART (Engenharia Ambiental & Dispersão) Um vazamento de hidrocarboneto em mar aberto assume a forma de uma elipse devido às correntes marítimas direcionais. O eixo maior da elipse está crescendo a uma taxa de
, enquanto o eixo menor cresce a uma taxa de
. No instante em que o eixo maior mede
metros e o eixo menor mede
metros, determine a taxa de expansão da área total da mancha de poluente. (Nota: A área da elipse é dada por
).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (copiadas do enunciado):
- A área da elipse é dada por
- O eixo maior da elipse cresce a uma taxa de
- O eixo menor da elipse cresce a uma taxa de
- No instante considerado, as medidas são
e
O enunciado pede:
- Determinar a taxa de expansão da área total da mancha de poluente, ou seja, calcular
nesse instante.
Passo 2
Entendendo as variáveis e a fórmula que vamos usar:
-
é a área da elipse em metros quadrados ( ). -
e são os comprimentos dos eixos conforme aparecem na fórmula , medidos em metros ( ). - As taxas
e são as variações de e por unidade de tempo, em .
Queremos a taxaem .
Passo 3
Como
depende de
e
, ambas funções do tempo
, derivamos a relação
em relação a
. Para isso usamos a regra do produto (produto de duas funções de
) e a constante
pode sair da derivada. A regra do produto diz que, se
e
são funções,
.
Aplicando ao nosso caso:
Passo 4
Agora vamos preparar para substituir os valores numéricos. A fórmula que achamos é
Nela:
-
(m), -
(m), -
(m/min), -
(m/min).
Passo 5
Substituindo os números na expressão e fazendo as contas passo a passo:
Calculemos os produtos:
Somando:
Logo a expressão fica
Passo 6
Podemos deixar a resposta exata em termos de
ou dar uma aproximação decimal. A forma exata é
. Se quiser aproximar numericamente, usando
,