1. INSPIRADO NO STEWART (Engenharia Ambiental & Dispersão) Um vazamento de hidrocarboneto em mar aberto assume a forma de uma elipse devido às correntes marítimas direcionais. O eixo maior da elipse está crescendo a uma taxa de \mathbf{8 ~ m} / \mathbf{m i n}, enquanto o eixo menor cresce a uma taxa de 3 \mathbf{m} / \mathbf{m i n}. No instante em que o eixo maior mede \mathbf{1 0 0} metros e o eixo menor mede \mathbf{4 0} metros, determine a taxa de expansão da área total da mancha de poluente. (Nota: A área da elipse é dada por A=\pi \boldsymbol{a} \boldsymbol{b} ).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (copiadas do enunciado):
  • A área da elipse é dada por A=\pi a b.
  • O eixo maior da elipse cresce a uma taxa de \dfrac{da}{dt}=8\\ \text{m/min}.
  • O eixo menor da elipse cresce a uma taxa de \dfrac{db}{dt}=3\\ \text{m/min}.
  • No instante considerado, as medidas são a=100\\ \text{m} e b=40\\ \text{m}.
O enunciado pede:
  • Determinar a taxa de expansão da área total da mancha de poluente, ou seja, calcular \dfrac{dA}{dt} nesse instante.

Passo 2

Entendendo as variáveis e a fórmula que vamos usar:
  • A é a área da elipse em metros quadrados ( \text{m}^2).
  • a e b são os comprimentos dos eixos conforme aparecem na fórmula A=\pi a b, medidos em metros ( \text{m}).
  • As taxas \dfrac{da}{dt} e \dfrac{db}{dt} são as variações de a e b por unidade de tempo, em \text{m/min}.
    Queremos a taxa \dfrac{dA}{dt} em \text{m}^2/\text{min}.

Passo 3

Como A depende de a e b, ambas funções do tempo t, derivamos a relação A=\pi a b em relação a t. Para isso usamos a regra do produto (produto de duas funções de t) e a constante \pi pode sair da derivada. A regra do produto diz que, se u(t) e v(t) são funções, \dfrac{d}{dt}[u v]=u\,\dfrac{dv}{dt}+v\,\dfrac{du}{dt}.
Aplicando ao nosso caso:
\frac{dA}{dt}=\pi\left(a\frac{db}{dt}+b\frac{da}{dt}\right).

Passo 4

Agora vamos preparar para substituir os valores numéricos. A fórmula que achamos é
\frac{dA}{dt}=\pi\left(a\frac{db}{dt}+b\frac{da}{dt}\right).
Nela:
  • a=100 (m),
  • b=40 (m),
  • \dfrac{da}{dt}=8 (m/min),
  • \dfrac{db}{dt}=3 (m/min).

Passo 5

Substituindo os números na expressão e fazendo as contas passo a passo:
\frac{dA}{dt}=\pi\bigl(100\cdot 3 + 40\cdot 8\bigr)\\ \text{m}^2/\text{min}.
Calculemos os produtos:
100\cdot 3 = 300, \qquad 40\cdot 8 = 320.
Somando:
300+320=620.
Logo a expressão fica
\frac{dA}{dt}=\pi\cdot 620.

Passo 6

Podemos deixar a resposta exata em termos de \pi ou dar uma aproximação decimal. A forma exata é \,620\pi\\ \text{m}^2/\text{min}. Se quiser aproximar numericamente, usando \pi\approx3{,}14159,
620\pi\approx 1947{,}79\\ \text{m}^2/\text{min}.

Resposta

620\pi\\ \text{m}^2/\text{min}
\approx 1947{,}79\\ \text{m}^2/\text{min}

Exercícios relacionados