- INSPIRADO NO STEWART (Termodinâmica de Gases Confinados) Um gás ideal contido em um cilindro dotado de pistão móvel expande-se adiabaticamente de modo que sua pressão
e seu volume
obedecem à lei termodinâmica
, onde
é uma constante. Em um determinado instante, o volume do gás é de
, a pressão é de
, e o volume está aumentando a uma taxa de
/s. Determine a taxa de variação da pressão do gás nesse exato momento, indicando se ela está aumentando ou diminuindo.
Passo 1
O enunciado fornece a lei adiabática e alguns valores numéricos no instante considerado. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
- Relação entre pressão e volume (peguei do enunciado):
onde
é constante.
- Valores no instante analisado (peguei do enunciado):
- Volume:
. - Pressão:
. - Taxa de variação do volume:
(o volume está aumentando).
- Volume:
- O que o problema pede:
- Determinar a taxa de variação da pressão naquele instante, ou seja,
. - Indicar se a pressão está aumentando ou diminuindo.
- Determinar a taxa de variação da pressão naquele instante, ou seja,
Passo 2
Definições e ideia geral (sem resolver ainda).
- Vou considerar
e como funções do tempo : e . - A relação dada é uma igualdade que vale para todo
:
- Como
é constante, ao derivar essa igualdade em relação ao tempo obtemos uma equação que relaciona e . Essa é a técnica de taxas relacionadas (related rates).
Passo 3
Derivação da relação usando regra do produto e regra da cadeia.
- A expressão a derivar é
. Aplicando a regra do produto:
- Agora usamos a regra da cadeia para
. Se , então e
- Como
é constante, a derivada de em relação ao tempo é zero. Portanto:
Passo 4
Isolando
e simplificando a expressão.
- A equação anterior é
- Isolando
:
- Simplificando as potências de
: . Assim obtemos uma forma muito simples e útil:
Explicação do que isso significa: a taxa de variação da pressão é proporcional (com sinal negativo) à taxa relativa de variação do volume
, multiplicada por
e por
. O sinal negativo já indica que, quando o volume aumenta (
), a pressão tende a diminuir.
Passo 5
Substituição dos valores numéricos e cálculo (com atenção às unidades).
- Vou usar os valores do enunciado:
-
. -
. -
.
-
- Observe que
e estão nas mesmas unidades de volume, por isso a razão é uma taxa por segundo sem unidades de volume remanescentes; portanto não é preciso converter as unidades de volume para obter a taxa em . - Calcule a razão:
- Agora apliquei a fórmula:
- Primeiro
. Depois . - Portanto:
Passo 6
Interpretação do resultado e conclusão final.
- O valor
é negativo, o que significa que a pressão está diminuindo naquele instante. - Intuitivamente: com o pistão se movendo para aumentar o volume, a pressão do gás cai; a relação adiabática dada quantifica exatamente a rapidez dessa queda.