1. INSPIRADO NO STEWART (Termodinâmica de Gases Confinados) Um gás ideal contido em um cilindro dotado de pistão móvel expande-se adiabaticamente de modo que sua pressão \boldsymbol{P} e seu volume \boldsymbol{V} obedecem à lei termodinâmica \boldsymbol{P} \cdot \boldsymbol{V}^{\mathbf{1 , 4}}=\boldsymbol{C}, onde \boldsymbol{C} é uma constante. Em um determinado instante, o volume do gás é de \mathbf{4 0 0} \boldsymbol{\boldsymbol { c m } ^ { 3 }}, a pressão é de \mathbf{2 4 0 ~ k P a}, e o volume está aumentando a uma taxa de \mathbf{3 0} \boldsymbol{c \boldsymbol { m } ^ { 3 }} /s. Determine a taxa de variação da pressão do gás nesse exato momento, indicando se ela está aumentando ou diminuindo.

Passo 1

O enunciado fornece a lei adiabática e alguns valores numéricos no instante considerado. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Relação entre pressão e volume (peguei do enunciado):
P\,V^{1{,}4}=C,
onde C é constante.
  • Valores no instante analisado (peguei do enunciado):
    • Volume: V=400\\ \mathrm{cm^3}.
    • Pressão: P=240\\ \mathrm{kPa}.
    • Taxa de variação do volume: \dfrac{dV}{dt}=30\\ \mathrm{cm^3/s} (o volume está aumentando).
  • O que o problema pede:
    • Determinar a taxa de variação da pressão naquele instante, ou seja, \dfrac{dP}{dt}.
    • Indicar se a pressão está aumentando ou diminuindo.

Passo 2

Definições e ideia geral (sem resolver ainda).
  • Vou considerar P e V como funções do tempo t: P=P(t) e V=V(t).
  • A relação dada é uma igualdade que vale para todo t:
P(t)\,V(t)^{1{,}4}=C.
  • Como C é constante, ao derivar essa igualdade em relação ao tempo obtemos uma equação que relaciona \dfrac{dP}{dt} e \dfrac{dV}{dt}. Essa é a técnica de taxas relacionadas (related rates).

Passo 3

Derivação da relação usando regra do produto e regra da cadeia.
  • A expressão a derivar é P(t)\,V(t)^{1{,}4}. Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dt}\bigl(P\,V^{1{,}4}\bigr)=\frac{dP}{dt}\,V^{1{,}4}+P\cdot\frac{d}{dt}\bigl(V^{1{,}4}\bigr).
  • Agora usamos a regra da cadeia para \dfrac{d}{dt}\bigl(V^{1{,}4}\bigr). Se g(V)=V^{1{,}4}, então g'(V)=1{,}4\,V^{0{,}4} e
\frac{d}{dt}\bigl(V^{1{,}4}\bigr)=1{,}4\,V^{0{,}4}\,\frac{dV}{dt}.
  • Como C é constante, a derivada de C em relação ao tempo é zero. Portanto:
\frac{dP}{dt}\,V^{1{,}4}+P\cdot\bigl(1{,}4\,V^{0{,}4}\,\frac{dV}{dt}\bigr)=0.

Passo 4

Isolando \dfrac{dP}{dt} e simplificando a expressão.
  • A equação anterior é
\frac{dP}{dt}\,V^{1{,}4}+1{,}4\,P\,V^{0{,}4}\,\frac{dV}{dt}=0.
  • Isolando \dfrac{dP}{dt}:
\frac{dP}{dt}\,V^{1{,}4}=-1{,}4\,P\,V^{0{,}4}\,\frac{dV}{dt}.
\frac{dP}{dt}=-1{,}4\,P\,\frac{V^{0{,}4}}{V^{1{,}4}}\,\frac{dV}{dt}.
  • Simplificando as potências de V: V^{0{,}4}/V^{1{,}4}=V^{-1}=\dfrac{1}{V}. Assim obtemos uma forma muito simples e útil:
\boxed{\frac{dP}{dt}=-1{,}4\,P\,\frac{1}{V}\,\frac{dV}{dt}=-1{,}4\,P\;\frac{dV/dt}{V}.}
Explicação do que isso significa: a taxa de variação da pressão é proporcional (com sinal negativo) à taxa relativa de variação do volume \dfrac{dV/dt}{V}, multiplicada por 1{,}4 e por P. O sinal negativo já indica que, quando o volume aumenta ( \dfrac{dV}{dt}>0), a pressão tende a diminuir.

Passo 5

Substituição dos valores numéricos e cálculo (com atenção às unidades).
  • Vou usar os valores do enunciado:
    • P=240\\ \mathrm{kPa}.
    • V=400\\ \mathrm{cm^3}.
    • \dfrac{dV}{dt}=30\\ \mathrm{cm^3/s}.
  • Observe que V e \dfrac{dV}{dt} estão nas mesmas unidades de volume, por isso a razão \dfrac{dV/dt}{V} é uma taxa por segundo sem unidades de volume remanescentes; portanto não é preciso converter as unidades de volume para obter a taxa em \mathrm{kPa/s}.
  • Calcule a razão:
\frac{dV/dt}{V}=\frac{30}{400}=0{,}075\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Agora apliquei a fórmula:
\frac{dP}{dt}=-1{,}4\cdot 240\cdot 0{,}075\\ \mathrm{kPa/s}.
  • Primeiro 1{,}4\cdot 240=336. Depois 336\cdot 0{,}075=25{,}2.
  • Portanto:
\frac{dP}{dt}=-25{,}2\\ \mathrm{kPa/s}.

Passo 6

Interpretação do resultado e conclusão final.
  • O valor \dfrac{dP}{dt}=-25{,}2\\ \mathrm{kPa/s} é negativo, o que significa que a pressão está diminuindo naquele instante.
  • Intuitivamente: com o pistão se movendo para aumentar o volume, a pressão do gás cai; a relação adiabática dada quantifica exatamente a rapidez dessa queda.

Resposta

-25{,}2\\ \mathrm{kPa/s} (diminuindo)

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