Utilizando os testes de convergência, analise a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{n}-1}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum \frac{1}{2}\,\frac{1}{\sqrt{n}-1}
e pede para analisar se ela converge ou diverge. Vou assumir que a soma é para n=2,3,4,\dots (pois para n=1 o termo seria indefinido). As informações relevantes são:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\sqrt{n}-1}.
  • Os termos são positivos para n\ge2, porque \sqrt{n}-1>0 quando n\ge2.
  • A pergunta é: a série \sum a_n converge ou diverge?

Passo 2

Observação sobre a estratégia: como os termos são positivos e parecem decair como alguma potência de n, o teste de comparação com uma série do tipo \sum n^{-p} (p-série) é uma boa escolha. Vou usar o teste da comparação-limite (limit comparison test) com uma p-série simples. Isso nos evita passos complicados e é direto na prova.

Passo 3

Escolher uma série de referência. Pelo aspecto de a_n para n grande, nota-se que \sqrt{n}-1 é assintoticamente equivalente a \sqrt{n}. Assim, escolho como referência a sequência
b_n=\frac{1}{2}\,\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{1}{2}\,n^{-1/2},
cuja série associada é uma p-série com p=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Recordando o teste de comparação-limite (limit comparison test): se a_n>0 e b_n>0 para n grande e
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
existe com 0<L<\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento (ou seja, ambas convergem ou ambas divergem).

Passo 5

Aplicar o teste: calcular o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\sqrt{n}-1}}{\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\sqrt{n}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}-1}.
Agora simplifico o limite. Dividindo numerador e denominador por \sqrt{n},
\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}-1}=\frac{1}{1-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}\xrightarrow[n\to\infty]{} \frac{1}{1-0}=1.
Portanto L=1, que é um número finito e positivo.

Passo 6

Pela conclusão do teste da comparação-limite, \sum a_n tem o mesmo comportamento que \sum b_n. Agora uso o resultado padrão sobre p-séries: a p-série
\sum n^{-p}
converge se, e somente se, p>1. No nosso caso b_n=\tfrac{1}{2}n^{-1/2} é proporcional a n^{-1/2} com p=\tfrac{1}{2}\le1, então a série \sum b_n diverge. (A constante \tfrac{1}{2} não altera convergência/divergência.)

Passo 7

Como \sum b_n diverge e L=1 com 0<L<\infty, concluímos pelo teste da comparação-limite que \sum a_n também diverge. Em palavras simples: os termos de \sum a_n são assintoticamente como uma constante vezes n^{-1/2}, e essa ordem decresce devagar demais para somar de forma convergente.

Resposta

A série diverge.

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