- INSPIRADO NO STEWART (Dinâmica de Escoamento Cônico) Um silo industrial em formato de cone invertido de altura 12 metros e raio da base superior igual a 4 metros está descarregando grãos por uma abertura inferior. Devido ao atrito interno do material, os grãos formam um espaço vazio cônico superior cuja altura é sempre o dobro do raio da superfície. Se o nível de grãos está descendo a uma taxa de 15
quando a profundidade for de
metros, qual é a taxa de escoamento volumétrico de saída dos grãos?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- O silo é um cone invertido com altura
e raio da base superior . - Há um espaço vazio cônico na parte superior do material; a altura desse cone vazio é sempre o dobro do raio da sua base (isto é, se a altura do cone vazio for
, então , onde é o raio da base do cone vazio). - O nível (a superfície) dos grãos está descendo à taxa de
no instante em que a profundidade (altura do cone vazio ou distância do topo até a superfície dos grãos) é . - Pergunta: qual é a taxa de escoamento volumétrico de saída dos grãos (ou seja, a que velocidade o volume de grãos dentro do silo está diminuindo, tomada com sinal positivo para o fluxo de saída)?
Dados numéricos importantes que usarei depois:
Passo 2
Escolha de variáveis e interpretação geométrica (muito importante para não se perder):
- Seja
a altura do cone vazio superior medida a partir do topo do silo até a superfície dos grãos. Assim é exatamente a “profundidade” mencionada no enunciado; quando os grãos descem, aumenta. - Pelo enunciado, a altura do cone vazio satisfaz
, onde é o raio da base desse cone vazio. Portanto
- O volume do silo inteiro (quando cheio) é constante e igual a
- O volume ocupado pelos grãos no instante
é o volume do silo inteiro menos o volume do cone vazio superior:
Passo 3
Fórmula do volume de um cone e aplicação ao cone vazio — mini-aulinha:
- A fórmula do volume de um cone de altura
e raio da base é
- Aqui o cone vazio tem altura
e raio . Substituindo,
Expliquei passo a passo: primeiro quadrado do raio, depois multiplicar pela altura e pelo
.
Passo 4
Volume dos grãos como função de
:
- Calcula-se o volume total do silo:
- Portanto o volume de grãos é
Passo 5
Relacionando taxas — derivação temporal (cadeia e regra do produto simples):
- Queremos a taxa de escoamento volumétrico, isto é, a taxa de variação do volume de grãos dentro do silo. Diferenciando
em relação ao tempo e aplicando a regra da cadeia:
- Simplificando o fator numérico:
Observação didática: a derivada de
é
, e o resto são constantes que saem da derivada.
Passo 6
Substituição dos valores do instante pedido:
- No instante considerado temos
e a superfície está descendo a . Como definimos como a altura do cone vazio (que aumenta quando a superfície desce), temos
- Substituindo em
:
Passo 7
Interpretação do sinal e resposta pedida:
- O resultado
indica que o volume de grãos DENTRO do silo está diminuindo a essa taxa (sinal negativo). - A taxa de escoamento volumétrico de saída dos grãos — normalmente pedida como quantidade que sai por minuto, valor positivo — é o negativo de
: