1. INSPIRADO NO STEWART (Dinâmica de Escoamento Cônico) Um silo industrial em formato de cone invertido de altura 12 metros e raio da base superior igual a 4 metros está descarregando grãos por uma abertura inferior. Devido ao atrito interno do material, os grãos formam um espaço vazio cônico superior cuja altura é sempre o dobro do raio da superfície. Se o nível de grãos está descendo a uma taxa de 15 \boldsymbol{c m} / \boldsymbol{m i n} quando a profundidade for de \mathbf{6} metros, qual é a taxa de escoamento volumétrico de saída dos grãos?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • O silo é um cone invertido com altura \,12\\ \text{m}\, e raio da base superior \,4\\ \text{m}.
  • Há um espaço vazio cônico na parte superior do material; a altura desse cone vazio é sempre o dobro do raio da sua base (isto é, se a altura do cone vazio for \,h, então \,h=2r, onde \,r é o raio da base do cone vazio).
  • O nível (a superfície) dos grãos está descendo à taxa de \,15\\ \text{cm/min} no instante em que a profundidade (altura do cone vazio ou distância do topo até a superfície dos grãos) é \,6\\ \text{m}.
  • Pergunta: qual é a taxa de escoamento volumétrico de saída dos grãos (ou seja, a que velocidade o volume de grãos dentro do silo está diminuindo, tomada com sinal positivo para o fluxo de saída)?
Dados numéricos importantes que usarei depois:
15\\ \text{cm/min}=0{,}15\\ \text{m/min},\qquad H_{\text{silo}}=12\\ \text{m},\qquad R_{\text{silo}}=4\\ \text{m}.

Passo 2

Escolha de variáveis e interpretação geométrica (muito importante para não se perder):
  • Seja \,x(t) a altura do cone vazio superior medida a partir do topo do silo até a superfície dos grãos. Assim \,x é exatamente a “profundidade” mencionada no enunciado; quando os grãos descem, \,x aumenta.
  • Pelo enunciado, a altura do cone vazio satisfaz \,x=2r, onde \,r é o raio da base desse cone vazio. Portanto
r=\frac{x}{2}.
  • O volume do silo inteiro (quando cheio) é constante e igual a
V_{\text{silo}}=\frac{1}{3}\pi R_{\text{silo}}^{2}H_{\text{silo}}.
  • O volume ocupado pelos grãos no instante t é o volume do silo inteiro menos o volume do cone vazio superior:
V(t)=V_{\text{silo}}-V_{\text{vazio}}(t).

Passo 3

Fórmula do volume de um cone e aplicação ao cone vazio — mini-aulinha:
  • A fórmula do volume de um cone de altura \,H e raio da base \,R é
V_{\text{cone}}=\frac{1}{3}\pi R^{2}H.
  • Aqui o cone vazio tem altura \,x e raio \,r=\dfrac{x}{2}. Substituindo,
V_{\text{vazio}}(x)=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{x}{2}\right)^{2}x =\frac{1}{3}\pi\frac{x^{2}}{4}x =\frac{1}{12}\pi x^{3}.
Expliquei passo a passo: primeiro quadrado do raio, depois multiplicar pela altura e pelo \tfrac{1}{3}\pi.

Passo 4

Volume dos grãos como função de \,x:
  • Calcula-se o volume total do silo:
V_{\text{silo}}=\frac{1}{3}\pi(4)^{2}(12)=\frac{1}{3}\pi\cdot 16\cdot 12=64\pi\\ \text{m}^{3}.
  • Portanto o volume de grãos é
V(x)=64\pi-\frac{1}{12}\pi x^{3}.

Passo 5

Relacionando taxas — derivação temporal (cadeia e regra do produto simples):
  • Queremos a taxa de escoamento volumétrico, isto é, a taxa de variação do volume de grãos dentro do silo. Diferenciando V(x(t)) em relação ao tempo e aplicando a regra da cadeia:
\frac{dV}{dt}=\frac{d}{dt}\!\left(64\pi-\frac{1}{12}\pi x^{3}\right)= -\frac{1}{12}\pi\cdot 3x^{2}\frac{dx}{dt}.
  • Simplificando o fator numérico:
\frac{dV}{dt}=-\frac{1}{4}\pi x^{2}\frac{dx}{dt}.
Observação didática: a derivada de x^{3} é 3x^{2}, e o resto são constantes que saem da derivada.

Passo 6

Substituição dos valores do instante pedido:
  • No instante considerado temos \,x=6\\ \text{m} e a superfície está descendo a \,15\\ \text{cm/min}=0{,}15\\ \text{m/min}. Como definimos x como a altura do cone vazio (que aumenta quando a superfície desce), temos
\frac{dx}{dt}=0{,}15\\ \text{m/min}.
  • Substituindo em \dfrac{dV}{dt}:
\frac{dV}{dt}=-\frac{1}{4}\pi (6)^{2}\cdot 0{,}15 =-\frac{1}{4}\pi \cdot 36 \cdot 0{,}15 =-9\pi\cdot 0{,}15 =-1{,}35\pi\\ \text{m}^{3}/\text{min}.

Passo 7

Interpretação do sinal e resposta pedida:
  • O resultado \dfrac{dV}{dt}=-1{,}35\pi\\ \text{m}^{3}/\text{min} indica que o volume de grãos DENTRO do silo está diminuindo a essa taxa (sinal negativo).
  • A taxa de escoamento volumétrico de saída dos grãos — normalmente pedida como quantidade que sai por minuto, valor positivo — é o negativo de \dfrac{dV}{dt}:
\text{Fluxo de saída}=-\frac{dV}{dt}=1{,}35\pi\\ \text{m}^{3}/\text{min}\approx 4{,}243\\ \text{m}^{3}/\text{min}.í

Resposta

1{,}35\pi\\ \text{m}^{3}/\text{min}
\approx 4{,}243\\ \text{m}^{3}/\text{min}

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