1. INSPIRADO NO STEWART (Rastreamento Óptico Avançado) Um drone câmera sobe verticalmente a partir de um ponto fixado no solo a uma velocidade constante de \mathbf{6 ~ m} / \mathbf{s}. Um carro de testes afasta-se do ponto de decolagem do drone seguindo uma trajetória retilínea horizontal com velocidade de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Quão rápido está variando a distância linear entre o drone e o carro exatamente 5 segundos após o início simultâneo de seus movimentos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo começa ao mesmo tempo):
  • O drone sobe verticalmente com velocidade constante de 6\\ \mathrm{m/s}.
  • O carro afasta-se horizontalmente do ponto de decolagem com velocidade constante de 20\\ \mathrm{m/s}.
  • Queremos saber quão rápido está variando a distância entre o drone e o carro exatamente 5 segundos após o início dos movimentos.
O que o problema pede:
  • Calcular a taxa de variação temporal da distância entre os dois veículos no instante t=5\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Vamos definir variáveis claras (isso ajuda muito na hora da prova):
  • Seja x(t) a distância horizontal do carro ao ponto de decolagem (em metros).
  • Seja y(t) a altura do drone em relação ao solo (em metros).
  • Seja r(t) a distância linear entre o carro e o drone (em metros).
Explicando por que essas variáveis fazem sentido: o carro move-se apenas na direção horizontal, portanto sua posição horizontal x muda com o tempo; o drone sobe verticalmente, portanto sua altura y muda com o tempo; a distância entre eles é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por x e y.
Também registramos as velocidades (derivadas temporais) constantes dadas:
  • \dfrac{dx}{dt}=20\\ \mathrm{m/s}.
  • \dfrac{dy}{dt}=6\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Relacionamento geométrico entre x, y e r: pelo teorema de Pitágoras,
r(t)^2 = x(t)^2 + y(t)^2.
Esta é a equação que liga as três quantidades. Na prova é comum usar essa relação quando duas componentes ortogonais determinam uma distância.

Passo 4

Agora vamos obter uma relação entre as taxas de variação aplicando derivação em relação ao tempo em ambos os lados da equação acima. Explico o porquê e como passo a passo:
  • A regra que usamos é a derivação de uma função composta (regra da cadeia): se uma quantidade depende de t por meio de outra, derivamos em relação a t.
  • Derivando \,r^2 = x^2 + y^2\, em relação a t obtemos (cada termo é função de t):
\frac{d}{dt}\big(r^2\big)=\frac{d}{dt}\big(x^2\big)+\frac{d}{dt}\big(y^2\big).
  • Aplicando a regra da cadeia a cada termo (derivada de u^2 é 2u\,\dfrac{du}{dt}):
2\,r\,\frac{dr}{dt}=2\,x\,\frac{dx}{dt}+2\,y\,\frac{dy}{dt}.
  • Podemos simplificar cancelando o fator 2:
r\,\frac{dr}{dt}=x\,\frac{dx}{dt}+y\,\frac{dy}{dt}.
  • Finalmente isolamos a taxa desejada:
\frac{dr}{dt}=\frac{x\,\dfrac{dx}{dt}+y\,\dfrac{dy}{dt}}{r}.
Este é o passo-chave: ele transforma as velocidades das projeções x,y na velocidade da hipotenusa r.

Passo 5

Agora precisamos dos valores de x,y e r no instante t=5\\ \mathrm{s}.
  • Como x(t) cresce a 20\\ \mathrm{m/s} a partir de zero, temos
x(5)=20\cdot 5 = 100\\ \mathrm{m}.
  • Como y(t) cresce a 6\\ \mathrm{m/s} a partir de zero, temos
y(5)=6\cdot 5 = 30\\ \mathrm{m}.
  • Calculamos r(5) usando o teorema de Pitágoras:
r(5)=\sqrt{x(5)^2+y(5)^2}=\sqrt{100^2+30^2}=\sqrt{10000+900}=\sqrt{10900}.
Podemos simplificar \sqrt{10900}=10\sqrt{109}, se quiser uma forma exata.

Passo 6

Substituímos os valores e as velocidades conhecidas na fórmula obtida no Passo 4:
\frac{dr}{dt}\Big|_{t=5} = \frac{x(5)\,\dfrac{dx}{dt}+y(5)\,\dfrac{dy}{dt}}{r(5)} = \frac{100\cdot 20 + 30\cdot 6}{\sqrt{10900}}.
Calculando o numerador:
100\cdot 20 = 2000,\qquad 30\cdot 6 = 180,\qquad 2000+180=2180.
Então
\frac{dr}{dt}\Big|_{t=5}=\frac{2180}{\sqrt{10900}}.
Podemos simplificar a fração escrevendo \sqrt{10900}=10\sqrt{109}, logo
\frac{dr}{dt}\Big|_{t=5}=\frac{2180}{10\sqrt{109}}=\frac{218}{\sqrt{109}}.
Isto é uma expressão exata; agora vamos obter o valor numérico prático.

Passo 7

Cálculo numérico para um resultado comumente exigido em provas:
  • \sqrt{109}\approx 10{,}4403065, portanto
\frac{218}{\sqrt{109}}\approx \frac{218}{10{,}4403065}\approx 20{,}889\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida: a distância entre o drone e o carro está aumentando a aproximadamente 20{,}889\\ \mathrm{m/s} no instante t=5\\ \mathrm{s}. Isso faz sentido: como o carro se move bem mais rápido horizontalmente que o drone sobe, a taxa de aumento da hipotenusa fica um pouco maior que a velocidade horizontal.

Passo 8

Dica prática para a prova (resumindo o procedimento que vale sempre para esse tipo de problema):
  • Desenhe o triângulo retângulo, identifique x,y,r.
  • Escreva a relação geométrica ( r^2=x^2+y^2).
  • Diferencie em relação ao tempo e aplique a regra da cadeia.
  • Substitua as velocidades e as posições no instante pedido.
    Pronto — seguindo esses passos fica bem tranquilo aplicar em qualquer problema parecido.

Resposta

20{,}889\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados