INSPIRADO NO STEWART (Rastreamento Óptico Avançado) Um drone câmera sobe verticalmente a partir de um ponto fixado no solo a uma velocidade constante de \mathbf{6 ~ m} / \mathbf{s}. Um carro de testes afasta-se do ponto de decolagem do drone seguindo uma trajetória retilínea horizontal com velocidade de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Quão rápido está variando a distância linear entre o drone e o carro exatamente 5 segundos após o início simultâneo de seus movimentos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo começa ao mesmo tempo):
O drone sobe verticalmente com velocidade constante de 6\\ \mathrm{m/s}.
O carro afasta-se horizontalmente do ponto de decolagem com velocidade constante de 20\\ \mathrm{m/s}.
Queremos saber quão rápido está variando a distância entre o drone e o carro exatamente 5 segundos após o início dos movimentos.
O que o problema pede:
Calcular a taxa de variação temporal da distância entre os dois veículos no instante t=5\\ \mathrm{s}.
Passo 2
Vamos definir variáveis claras (isso ajuda muito na hora da prova):
Seja x(t) a distância horizontal do carro ao ponto de decolagem (em metros).
Seja y(t) a altura do drone em relação ao solo (em metros).
Seja r(t) a distância linear entre o carro e o drone (em metros).
Explicando por que essas variáveis fazem sentido: o carro move-se apenas na direção horizontal, portanto sua posição horizontal x muda com o tempo; o drone sobe verticalmente, portanto sua altura y muda com o tempo; a distância entre eles é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por x e y.
Também registramos as velocidades (derivadas temporais) constantes dadas:
\dfrac{dx}{dt}=20\\ \mathrm{m/s}.
\dfrac{dy}{dt}=6\\ \mathrm{m/s}.
Passo 3
Relacionamento geométrico entre x, y e r: pelo teorema de Pitágoras,
r(t)^2 = x(t)^2 + y(t)^2.
Esta é a equação que liga as três quantidades. Na prova é comum usar essa relação quando duas componentes ortogonais determinam uma distância.
Passo 4
Agora vamos obter uma relação entre as taxas de variação aplicando derivação em relação ao tempo em ambos os lados da equação acima. Explico o porquê e como passo a passo:
A regra que usamos é a derivação de uma função composta (regra da cadeia): se uma quantidade depende de t por meio de outra, derivamos em relação a t.
Derivando \,r^2 = x^2 + y^2\, em relação a t obtemos (cada termo é função de t):
Interpretação rápida: a distância entre o drone e o carro está aumentando a aproximadamente 20{,}889\\ \mathrm{m/s} no instante t=5\\ \mathrm{s}. Isso faz sentido: como o carro se move bem mais rápido horizontalmente que o drone sobe, a taxa de aumento da hipotenusa fica um pouco maior que a velocidade horizontal.
Passo 8
Dica prática para a prova (resumindo o procedimento que vale sempre para esse tipo de problema):
Desenhe o triângulo retângulo, identifique x,y,r.
Escreva a relação geométrica (r^2=x^2+y^2).
Diferencie em relação ao tempo e aplique a regra da cadeia.
Substitua as velocidades e as posições no instante pedido.
Pronto — seguindo esses passos fica bem tranquilo aplicar em qualquer problema parecido.