- INSPIRADO NO STEWART (Mapeamento de Radar) Um avião supersônico voa horizontalmente a uma altitude constante de
, mantendo uma velocidade linear de
. Ele passa diretamente acima de uma estação de monitoramento de radar fixa no solo. Encontre a taxa de variação da distância direta entre o jato e a estação de radar no instante em que o jato se afastou horizontalmente 9 km da projeção da estação.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O avião voa horizontalmente a uma altitude constante de
. - A velocidade horizontal (velocidade linear ao longo do solo) é
. - O avião passa exatamente sobre a estação de radar fixa no solo (esse é o instante inicial).
- No instante em que a projeção horizontal do avião está a
da estação, pede-se a taxa de variação da distância direta (reta) entre o avião e a estação de radar. - Em termos de variável: se
é a distância horizontal do ponto da projeção do avião até a estação, é a altitude (constante) e é a distância direta entre avião e estação, a pergunta é encontrar quando .
Passo 2
Vamos montar a relação geométrica entre as três quantidades (a figura é um triângulo retângulo).
- A altitude é
e é constante. - A distância horizontal é
. - A distância direta (hipotenusa) é
.
Pelo teorema de Pitágoras, a relação é
Essa é a equação que relaciona
,
e
. Note que tudo depende do tempo
, mas
é constante.
Passo 3
Identificar as taxas já conhecidas e o que queremos achar.
- A velocidade horizontal do avião é a taxa de variação de
: . É positiva porque está aumentando (o avião se afasta). - Como a altitude é constante,
. - Queremos
no instante em que .
Passo 4
Diferenciar implicitamente a relação do Passo 2 em relação ao tempo
. Vou explicar passo a passo o porquê.
- Partimos de
. - Diferenciando ambos os lados em relação a
usamos a regra da cadeia (quando uma variável depende de , a derivada de uma função dela multiplica pela derivada interna). Assim:
- Aplicando a derivada: a derivada de
é . A derivada de é . A derivada de é . - Assim obtemos
- Dividindo por
:
- Como
, isso simplifica para
Essa última fórmula é intuitiva: a taxa de aumento da hipotenusa é a componente da velocidade horizontal na direção da hipotenusa, proporcional a
.
Passo 5
Agora avaliamos tudo no instante pedido (
) e fazemos as contas.
- Primeiro calcule
quando . Usando com :
- Usando a fórmula encontrada:
- Simplificando
:
O sinal positivo indica que a distância direta entre o avião e a estação está aumentando nesse instante (o avião está se afastando).
Passo 6
Resumo rápido do raciocínio (para fixar e usar na prova):
- Relacione variáveis com uma equação geométrica (aqui Pitágoras).
- Diferencie implicitamente em relação ao tempo usando regra da cadeia.
- Substitua as taxas conhecidas e avalie no instante pedido.
Vai tranquilo: esse tipo de problema é sempre o mesmo esquema — monta o triângulo, deriva e substitui.