1. INSPIRADO NO STEWART (Mapeamento de Radar) Um avião supersônico voa horizontalmente a uma altitude constante de \mathbf{1 2 ~ k m}, mantendo uma velocidade linear de \mathbf{1 2 0 0 ~ k m} / \mathbf{h}. Ele passa diretamente acima de uma estação de monitoramento de radar fixa no solo. Encontre a taxa de variação da distância direta entre o jato e a estação de radar no instante em que o jato se afastou horizontalmente 9 km da projeção da estação.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O avião voa horizontalmente a uma altitude constante de 12\\ \text{km}.
  • A velocidade horizontal (velocidade linear ao longo do solo) é 1200\\ \text{km/h}.
  • O avião passa exatamente sobre a estação de radar fixa no solo (esse é o instante inicial).
  • No instante em que a projeção horizontal do avião está a 9\\ \text{km} da estação, pede-se a taxa de variação da distância direta (reta) entre o avião e a estação de radar.
  • Em termos de variável: se x(t) é a distância horizontal do ponto da projeção do avião até a estação, y é a altitude (constante) e s(t) é a distância direta entre avião e estação, a pergunta é encontrar \dfrac{ds}{dt} quando x=9\\ \text{km}.

Passo 2

Vamos montar a relação geométrica entre as três quantidades (a figura é um triângulo retângulo).
  • A altitude é y=12\\ \text{km} e é constante.
  • A distância horizontal é x=x(t).
  • A distância direta (hipotenusa) é s=s(t).
Pelo teorema de Pitágoras, a relação é
s^2 = x^2 + y^2.
Essa é a equação que relaciona s, x e y. Note que tudo depende do tempo t, mas y é constante.

Passo 3

Identificar as taxas já conhecidas e o que queremos achar.
  • A velocidade horizontal do avião é a taxa de variação de x: \dfrac{dx}{dt}=1200\\ \text{km/h}. É positiva porque x está aumentando (o avião se afasta).
  • Como a altitude é constante, \dfrac{dy}{dt}=0.
  • Queremos \dfrac{ds}{dt} no instante em que x=9\\ \text{km}.

Passo 4

Diferenciar implicitamente a relação do Passo 2 em relação ao tempo t. Vou explicar passo a passo o porquê.
  • Partimos de \;s^2 = x^2 + y^2.
  • Diferenciando ambos os lados em relação a t usamos a regra da cadeia (quando uma variável depende de t, a derivada de uma função dela multiplica pela derivada interna). Assim:
\frac{d}{dt}\big(s^2\big)=\frac{d}{dt}\big(x^2+y^2\big).
  • Aplicando a derivada: a derivada de s^2 é 2s\cdot \dfrac{ds}{dt}. A derivada de x^2 é 2x\cdot \dfrac{dx}{dt}. A derivada de y^2 é 2y\cdot \dfrac{dy}{dt}.
  • Assim obtemos
2s\frac{ds}{dt}=2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}.
  • Dividindo por 2:
s\frac{ds}{dt}=x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}.
  • Como \dfrac{dy}{dt}=0, isso simplifica para
\frac{ds}{dt}=\frac{x}{s}\,\frac{dx}{dt}.
Essa última fórmula é intuitiva: a taxa de aumento da hipotenusa é a componente da velocidade horizontal na direção da hipotenusa, proporcional a x/s.

Passo 5

Agora avaliamos tudo no instante pedido ( x=9\\ \text{km}) e fazemos as contas.
  • Primeiro calcule s quando x=9. Usando s^2=x^2+y^2 com y=12:
s=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\\ \text{km}.
  • Usando a fórmula encontrada:
\frac{ds}{dt}=\frac{x}{s}\,\frac{dx}{dt}=\frac{9}{15}\cdot 1200\\ \text{km/h}.
  • Simplificando \dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}:
\frac{ds}{dt}=\frac{3}{5}\cdot 1200=720\\ \text{km/h}.
O sinal positivo indica que a distância direta entre o avião e a estação está aumentando nesse instante (o avião está se afastando).

Passo 6

Resumo rápido do raciocínio (para fixar e usar na prova):
  • Relacione variáveis com uma equação geométrica (aqui Pitágoras).
  • Diferencie implicitamente em relação ao tempo usando regra da cadeia.
  • Substitua as taxas conhecidas e avalie no instante pedido.
    Vai tranquilo: esse tipo de problema é sempre o mesmo esquema — monta o triângulo, deriva e substitui.

Resposta

720\\ \text{km/h}

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