1. INSPIRADO NO STEWART (lluminação e Projeção de Sombras) Um holofote de alta potência situado no nível do chão projeta luz sobre uma parede vertical localizada a 20 metros de distância. Um operário de \mathbf{1 , 8 0} metros de altura caminha a partir do holofote em direção à parede a uma velocidade constante de 1,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a taxa de variação do comprimento da sombra do operário projetada na parede no instante exato em que ele se encontra a 5 metros da parede.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa:
  • Dados (peguei-os do enunciado):
    • Distância entre o holofote e a parede: \,20\\ \mathrm{m}.
    • Altura do operário: \,1,8\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade do operário (constante) andando do holofote em direção à parede: \,1,4\\ \mathrm{m/s}.
    • No instante considerado o operário encontra-se a \,5\\ \mathrm{m} da parede.
  • O que é pedido:
    • Determinar a taxa de variação do comprimento da sombra do operário projetada na parede (ou seja, a altura da projeção na parede) no instante em que o operário está a \,5\\ \mathrm{m} da parede. Em termos de variáveis: encontrar \dfrac{dH}{dt} naquele instante, onde H(t) é a altura da sombra na parede.

Passo 2

Definição de variáveis e interpretação geométrica (montagem do modelo):
  • Seja x(t) a distância do operário ao holofote medida ao longo do chão (ou seja, x é a distância do holofote até a base do operário). O holofote está a \,0\\ \mathrm{m} e a parede a \,20\\ \mathrm{m}, então 0\le x\le20.
  • Seja H(t) a altura, medida a partir do chão, do ponto superior da sombra do operário projetada na parede — é isso que o enunciado chama de “comprimento da sombra na parede”.
  • A figura mental: uma linha do holofote (ponto-a) passando pelo topo do operário atinge a parede em altura H. Assim aparecem dois triângulos semelhantes: o triângulo formado pelo holofote, topo do operário e chão, e o triângulo formado pelo holofote, topo da sombra na parede e chão.

Passo 3

Relação geométrica entre H, x e a altura do operário:
  • Pelos triângulos semelhantes, a razão entre a altura do operário e sua distância ao holofote é igual à razão entre a altura da sombra na parede e a distância da parede ao holofote. Em símbolos:
\frac{1,8}{x}=\frac{H}{20}.
  • Dessa igualdade isolamos H:
H=\frac{20\cdot 1,8}{x}.
  • Comentário didático curto: isso vem de semelhança de triângulos porque ambos compartilham o mesmo ângulo no holofote e têm lados verticais correspondentes (altura do operário e altura da sombra).

Passo 4

Preparar para relacionar as taxas (introdução ao método de taxas relacionadas):
  • A expressão acima liga H e x em cada instante de tempo. Como x varia com o tempo (o operário caminha), H também varia com o tempo. Para obter a taxa \dfrac{dH}{dt} usamos derivação implícita em relação ao tempo t.
  • Lembrete prático (cadeia/derivada): se H=f(x) e x=x(t), então
\frac{dH}{dt}=f'(x)\cdot\frac{dx}{dt}.

Passo 5

Derivação da relação H=\dfrac{20\cdot 1,8}{x}:
  • Escrever H como potência para derivar mais facilmente:
H=20\cdot 1,8\cdot x^{-1}.
  • Derivando em relação ao tempo t (usando regra da potência e regra da cadeia):
\frac{dH}{dt}=20\cdot 1,8\cdot(-1)\,x^{-2}\cdot\frac{dx}{dt}.
  • Simplificando:
\frac{dH}{dt}=-\frac{20\cdot 1,8}{x^{2}}\cdot\frac{dx}{dt}.
  • Explicação didática: o negativo aparece porque, quando x cresce (o operário se aproxima do muro, lembrando que x é a distância do holofote), a razão 1/x diminui, então H tende a diminuir — a sombra vertical na parede encolhe.

Passo 6

Avaliar a expressão no instante pedido e calcular numericamente:
  • Primeiro transformar a informação “operário a \,5\\ \mathrm{m} da parede” em x: como a parede está a \,20\\ \mathrm{m} do holofote, temos
x=20-5=15\\ \mathrm{m}.
  • A velocidade do operário \dfrac{dx}{dt} é dada no enunciado: \dfrac{dx}{dt}=1,4\\ \mathrm{m/s} (positivo porque x aumenta à medida que ele anda do holofote para a parede).
  • Substituindo em
\frac{dH}{dt}=-\frac{20\cdot 1,8}{x^{2}}\cdot\frac{dx}{dt}
obtemos
\frac{dH}{dt}=-\frac{20\cdot 1,8}{15^{2}}\cdot 1,4.
  • Calcule passo a passo:
    • 20\cdot 1,8=36.
    • 15^{2}=225.
    • 36\cdot 1,4=50,4.
    • Logo
\frac{dH}{dt}=-\frac{50,4}{225}.
  • Simplificando a fração:
    • Dividindo numerador e denominador por 9: \dfrac{50,4}{225}=\dfrac{5,6}{25}= \dfrac{56}{250}=\dfrac{28}{125}.
    • Em decimal: \dfrac{28}{125}=0,224.
  • Portanto
\frac{dH}{dt}=-0,224\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Interpretação final e conclusão motivadora:
  • O sinal negativo significa que a altura da sombra na parede está diminuindo naquele instante — faz sentido: ao se aproximar da parede, a projeção vertical na parede fica menor.
  • Unidade: metros por segundo ( \mathrm{m/s}).
  • Você conseguiu! O resultado pode ser memorizado como -\dfrac{28}{125}\\ \mathrm{m/s} ou -0,224\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

-0,224\\ \mathrm{m/s}

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