- INSPIRADO NO STEWART (lluminação e Projeção de Sombras) Um holofote de alta potência situado no nível do chão projeta luz sobre uma parede vertical localizada a 20 metros de distância. Um operário de
metros de altura caminha a partir do holofote em direção à parede a uma velocidade constante de
. Determine a taxa de variação do comprimento da sombra do operário projetada na parede no instante exato em que ele se encontra a 5 metros da parede.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa:
-
Dados (peguei-os do enunciado):
- Distância entre o holofote e a parede:
. - Altura do operário:
. - Velocidade do operário (constante) andando do holofote em direção à parede:
. - No instante considerado o operário encontra-se a
da parede.
- Distância entre o holofote e a parede:
-
O que é pedido:
- Determinar a taxa de variação do comprimento da sombra do operário projetada na parede (ou seja, a altura da projeção na parede) no instante em que o operário está a
da parede. Em termos de variáveis: encontrar naquele instante, onde é a altura da sombra na parede.
- Determinar a taxa de variação do comprimento da sombra do operário projetada na parede (ou seja, a altura da projeção na parede) no instante em que o operário está a
Passo 2
Definição de variáveis e interpretação geométrica (montagem do modelo):
- Seja
a distância do operário ao holofote medida ao longo do chão (ou seja, é a distância do holofote até a base do operário). O holofote está a e a parede a , então . - Seja
a altura, medida a partir do chão, do ponto superior da sombra do operário projetada na parede — é isso que o enunciado chama de “comprimento da sombra na parede”. - A figura mental: uma linha do holofote (ponto-a) passando pelo topo do operário atinge a parede em altura
. Assim aparecem dois triângulos semelhantes: o triângulo formado pelo holofote, topo do operário e chão, e o triângulo formado pelo holofote, topo da sombra na parede e chão.
Passo 3
Relação geométrica entre
,
e a altura do operário:
- Pelos triângulos semelhantes, a razão entre a altura do operário e sua distância ao holofote é igual à razão entre a altura da sombra na parede e a distância da parede ao holofote. Em símbolos:
- Dessa igualdade isolamos
:
- Comentário didático curto: isso vem de semelhança de triângulos porque ambos compartilham o mesmo ângulo no holofote e têm lados verticais correspondentes (altura do operário e altura da sombra).
Passo 4
Preparar para relacionar as taxas (introdução ao método de taxas relacionadas):
- A expressão acima liga
e em cada instante de tempo. Como varia com o tempo (o operário caminha), também varia com o tempo. Para obter a taxa usamos derivação implícita em relação ao tempo . - Lembrete prático (cadeia/derivada): se
e , então
Passo 5
Derivação da relação
:
- Escrever
como potência para derivar mais facilmente:
- Derivando em relação ao tempo
(usando regra da potência e regra da cadeia):
- Simplificando:
- Explicação didática: o negativo aparece porque, quando
cresce (o operário se aproxima do muro, lembrando que é a distância do holofote), a razão diminui, então tende a diminuir — a sombra vertical na parede encolhe.
Passo 6
Avaliar a expressão no instante pedido e calcular numericamente:
- Primeiro transformar a informação “operário a
da parede” em : como a parede está a do holofote, temos
- A velocidade do operário
é dada no enunciado: (positivo porque aumenta à medida que ele anda do holofote para a parede). - Substituindo em
obtemos
- Calcule passo a passo:
-
. -
. -
. - Logo
-
- Simplificando a fração:
- Dividindo numerador e denominador por
: . - Em decimal:
.
- Dividindo numerador e denominador por
- Portanto
Passo 7
Interpretação final e conclusão motivadora:
- O sinal negativo significa que a altura da sombra na parede está diminuindo naquele instante — faz sentido: ao se aproximar da parede, a projeção vertical na parede fica menor.
- Unidade: metros por segundo (
). - Você conseguiu! O resultado pode ser memorizado como
ou .