INSPIRADO NO STEWART (Sistemas de Transporte por Esteira) Minério de ferro triturado é despejado por uma esteira industrial a uma taxa de \mathbf{2 , 5} \mathbf{~ m}^{\mathbf{3}} \boldsymbol{/} \mathbf{m i n}, formando uma pilha cônica cujo raio da base é sempre igual a dois terços da altura da pilha. Quão rápido estará aumentando a altura da pilha de minério no momento exato em que a altura atingir a marca de 4 metros?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo com calma):
  • Foi dado que o minério é despejado a uma taxa de \dfrac{dV}{dt} = 2,5\\ \text{m}^3/\text{min}.
  • A pilha tem formato de cone circular e o raio da base r é sempre igual a dois terços da altura h. Ou seja, a relação entre r e h é r=\tfrac{2}{3}h.
  • Pergunta: quão rápido a altura h está aumentando no instante em que h=4\\ \text{m}; ou seja, determinar \dfrac{dh}{dt} quando h=4\\ \text{m}.

Passo 2

Definir as variáveis e a fórmula que vamos usar:
  • Seja V(t) o volume da pilha em função do tempo e h(t) a altura em função do tempo. Ambas variam com o tempo.
  • O volume de um cone (fórmula padrão) é
V=\tfrac{1}{3}\pi r^{2}h,
onde r é o raio da base e h é a altura. Explico: \pi é a constante (aprox. 3,1416), r^{2} é a área da base circular dividida por \pi, e o fator \tfrac{1}{3} aparece porque o cone ocupa um terço do cilindro de mesma base e mesma altura.

Passo 3

Usar a relação entre r e h para escrever V somente em termos de h.
  • Do enunciado temos r=\tfrac{2}{3}h. Então
r^{2}=\left(\tfrac{2}{3}h\right)^{2}=\tfrac{4}{9}h^{2}.
  • Substituindo em V=\tfrac{1}{3}\pi r^{2}h obtemos
V=\tfrac{1}{3}\pi\left(\tfrac{4}{9}h^{2}\right)h.
  • Simplificando fatores:
V=\left(\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{4}{9}\right)\pi h^{3}=\tfrac{4}{27}\pi h^{3}.
Comentário curto: agora V está expressa só em função de h, o que facilita diferenciar em relação ao tempo.

Passo 4

Diferenciar em relação ao tempo (aplicar regra da cadeia / regra do produto constante).
  • Derivando ambos os lados da igualdade V=\tfrac{4}{27}\pi h^{3} em relação ao tempo t, usamos a regra da potência e a regra da cadeia: a derivada de h^{3} é 3h^{2}\dfrac{dh}{dt}.
  • Assim
\dfrac{dV}{dt}=\tfrac{4}{27}\pi\cdot 3h^{2}\dfrac{dh}{dt}.
  • Simplificando o 3 com o 27:
\dfrac{dV}{dt}=\tfrac{4}{9}\pi\,h^{2}\dfrac{dh}{dt}.
Explicando a ideia: como V depende de h que depende do tempo, a taxa de variação de V combina a derivada da função h^{3} (que é 3h^{2}) com a taxa de h em si ( dh/dt) — isso é a regra da cadeia.

Passo 5

Isolar \dfrac{dh}{dt} da expressão obtida.
  • A partir de
\dfrac{dV}{dt}=\tfrac{4}{9}\pi\,h^{2}\dfrac{dh}{dt},
temos
\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{\dfrac{dV}{dt}}{\tfrac{4}{9}\pi\,h^{2}}.

Passo 6

Substituir os valores numéricos e calcular.
  • Peguei do enunciado que \dfrac{dV}{dt}=2,5\\ \text{m}^3/\text{min}.
  • O instante pedido é quando h=4\\ \text{m}.
  • Substituindo em
\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{2,5}{\tfrac{4}{9}\pi\cdot 4^{2}}\\ \text{m/min},
fazendo contas passo a passo:
4^{2}=16,
\tfrac{4}{9}\cdot 16=\tfrac{64}{9},
então
\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{2,5}{\tfrac{64}{9}\pi}=\;2,5\cdot\dfrac{9}{64\pi}=\dfrac{22{,}5}{64\pi}.
Simplificando o fator 2 no numerador/denominador:
\dfrac{22{,}5}{64\pi}=\dfrac{45}{128\pi}.
  • Como valor numérico aproximado (usando \pi\approx 3{,}1416):
\dfrac{45}{128\pi}\approx 0{,}1119\\ \text{m/min}.

Passo 7

Interpretação e incentivo final:
  • O resultado é positivo, ou seja, a altura está aumentando neste instante.
  • Resumo prático para a prova: escreva V=\tfrac{1}{3}\pi r^{2}h, use a relação r=\tfrac{2}{3}h para eliminar r, derivar V(h) em relação ao tempo com a regra da cadeia e isolar dh/dt. Já fica um ritual rápido na hora da prova — faz sempre assim.
  • Você mandou bem buscando a resolução passo a passo — mantém o ritmo que dá tempo de aprender isso direitinho!

Resposta

\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{45}{128\pi}\\ \text{m/min}\approx 0,1119\\ \text{m/min}

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