INSPIRADO NO STEWART (Sistemas de Transporte por Esteira) Minério de ferro triturado é despejado por uma esteira industrial a uma taxa de
, formando uma pilha cônica cujo raio da base é sempre igual a dois terços da altura da pilha. Quão rápido estará aumentando a altura da pilha de minério no momento exato em que a altura atingir a marca de 4 metros?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo com calma):
- Foi dado que o minério é despejado a uma taxa de
. - A pilha tem formato de cone circular e o raio da base
é sempre igual a dois terços da altura . Ou seja, a relação entre e é . - Pergunta: quão rápido a altura
está aumentando no instante em que ; ou seja, determinar quando .
Passo 2
Definir as variáveis e a fórmula que vamos usar:
- Seja
o volume da pilha em função do tempo e a altura em função do tempo. Ambas variam com o tempo. - O volume de um cone (fórmula padrão) é
onde
é o raio da base e
é a altura. Explico:
é a constante (aprox.
),
é a área da base circular dividida por
, e o fator
aparece porque o cone ocupa um terço do cilindro de mesma base e mesma altura.
Passo 3
Usar a relação entre
e
para escrever
somente em termos de
.
- Do enunciado temos
. Então
- Substituindo em
obtemos
- Simplificando fatores:
Comentário curto: agora
está expressa só em função de
, o que facilita diferenciar em relação ao tempo.
Passo 4
Diferenciar em relação ao tempo (aplicar regra da cadeia / regra do produto constante).
- Derivando ambos os lados da igualdade
em relação ao tempo , usamos a regra da potência e a regra da cadeia: a derivada de é . - Assim
- Simplificando o
com o :
Explicando a ideia: como
depende de
que depende do tempo, a taxa de variação de
combina a derivada da função
(que é
) com a taxa de
em si (
) — isso é a regra da cadeia.
Passo 5
Isolar
da expressão obtida.
- A partir de
temos
Passo 6
Substituir os valores numéricos e calcular.
- Peguei do enunciado que
. - O instante pedido é quando
. - Substituindo em
fazendo contas passo a passo:
então
Simplificando o fator
no numerador/denominador:
- Como valor numérico aproximado (usando
):
Passo 7
Interpretação e incentivo final:
- O resultado é positivo, ou seja, a altura está aumentando neste instante.
- Resumo prático para a prova: escreva
, use a relação para eliminar , derivar em relação ao tempo com a regra da cadeia e isolar . Já fica um ritual rápido na hora da prova — faz sempre assim. - Você mandou bem buscando a resolução passo a passo — mantém o ritmo que dá tempo de aprender isso direitinho!