[Inspirado na “Turma do Balão Mágico”] Um balão de ar quente transporta
crianças, cada uma com massa
. A temperatura do ar ambiente é
e a densidade do ar ambiente é dada por
. A temperatura média do ar quente no interior do balão é
e sua densidade é dada representada por
. Considere que estrutura “sólida” do balão (massa do cesto, operador, cabos, tecido e acessórios de aquecimento, sem considerar o ar em seu interior) é representada por
.
a) Leia todo o enunciado e inclusive os itens solicitados abaixo e ilustre o cenário da atividade, inclusive inserindo todas as grandezas técnicas possíveis, de forma que melhor ajudará a desenvolver o que se pede, bem como esclarecer ao avaliador todos os detalhes considerados.
b) Determine uma expressão para o volume do balão, para iniciar o processo de flutuar?
c) Considere que 04 crianças irão passear de balão em um dia em que a temperatura ambiente for
, e que os dados do balão são
e
. Também considere os demais dados numéricos disponíveis no caput da prova. Determine o volume do balão, para iniciar o processo de flutuar?
a) Leia todo o enunciado e inclusive os itens solicitados abaixo e ilustre o cenário da atividade, inclusive inserindo todas as grandezas técnicas possíveis, de forma que melhor ajudará a desenvolver o que se pede, bem como esclarecer ao avaliador todos os detalhes considerados.
b) Determine uma expressão para o volume do balão, para iniciar o processo de flutuar?
c) Considere que 04 crianças irão passear de balão em um dia em que a temperatura ambiente for
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Ilustrar o cenário da atividade e listar todas as grandezas técnicas que ajudam a resolver o problema.
- (b) Determinar uma expressão para o volume do balão necessário para iniciar o processo de flutuar.
- (c) Para o caso numérico com
crianças, , e , além dos demais dados do caput, calcular o volume do balão para que ele comece a flutuar.
Informações fornecidas no enunciado (lista direta):
- Número de crianças:
(no item (c) diz-se ). - Massa de cada criança:
(símbolo dado; valor numérico não fornecido no caput). - Temperatura ambiente:
. - Densidade do ar ambiente:
(símbolo fornecido; valor numérico típico será adotado posteriormente). - Temperatura do ar quente no interior do balão:
. - Densidade do ar quente:
(símbolo fornecido; pode ser obtida a partir de e das temperaturas usando aproximação de gás ideal). - Massa da estrutura do balão (cesto, operador, cabos, tecido, acessórios, excluindo o ar):
(dado no item (c)).
Observações importantes (apenas listagem; sem resolver ainda):
- Para calcular o volume numérico é necessário um valor numérico para
e um valor numérico para ; estes não foram explicitamente numéricos no caput, portanto adotarei valores técnicos padrão quando chegar no cálculo numérico (vou explicitar e justificar a escolha). - As perguntas (b) e (c) exigem usar princípios de empuxo (peso do fluido deslocado) e equilíbrio de forças/ pesos.
Passo 2
Ilustração verbal do cenário e lista completa de grandezas (isto é o pedido do item (a), apresentado de forma técnica para que o avaliador entenda tudo que considerei):
Descrição do sistema (diagrama verbal):
- Um invólucro esférico/ovoidal (o envelope do balão) contém ar quente à temperatura
e tem volume . - O ar ambiente, externo ao envelope, tem temperatura
e densidade . - O ar dentro do envelope tem densidade
. - A força de empuxo atua para cima e tem módulo igual ao peso do volume de ar ambiente deslocado.
- As forças que pesam para baixo são: o peso da estrutura do balão (cesto, operador, tecidos, etc.), o peso das
crianças e o peso do ar quente que está dentro do envelope. - Constantes e quantidades que uso: aceleração da gravidade
(vou trabalhar com cancelamento de na equação final, mas mantenho o símbolo para clareza).
Lista de grandezas técnicas (nome, símbolo e unidade típica):
- Volume do envelope:
(em ). - Temperatura ambiente:
(em ou em K). - Temperatura interna (ar quente):
(em ou em K). - Densidade do ar ambiente:
(em ). - Densidade do ar quente:
(em ). - Massa das crianças (total):
(em ). - Massa da estrutura do balão:
(em ). - Aceleração da gravidade:
(em , cancela nas equações de equilíbrio em geral).
Observação sobre medição de
e
:
-
pode ser tomada de tabelas (dependendo de pressão/temperatura) ou medida. Para um problema de prova, usa-se frequentemente a densidade do ar ao nível do mar. -
pode ser obtida a partir da aproximação do gás ideal (mesma pressão do ambiente; densidade é proporcional a em Kelvin).
Passo 3
Princípios físicos e fórmulas que vamos usar (aula curta, explicando cada variável):
- Princípio de Arquimedes (empuxo):
- O empuxo resultante para cima vale o peso do fluido deslocado. Em símbolos:
Aqui
é a densidade do ar externo,
é o volume deslocado (o volume do balão) e
é a aceleração da gravidade. O produto
dá a massa do ar deslocado; multiplicando por
dá o peso do ar deslocado.
- Peso do sistema que fica para baixo:
- Soma dos pesos da estrutura, das crianças e do ar quente dentro do envelope:
Explicando variáveis:
é a massa seca do balão (kg),
é a massa combinada das crianças (kg),
é a massa do ar quente que ocupa o volume
.
- Condição para começar a flutuar (equilíbrio limiar):
- Para que o balão “comece a flutuar”, o empuxo precisa ser pelo menos igual ao peso total. Consideramos aqui a condição limite de equilíbrio (empuxo igual ao peso total):
Note que
aparece dos dois lados; ele pode ser cancelado depois.
- Relação entre densidades e temperaturas (aproximação do gás ideal, pressão aproximadamente igual dentro/fora):
- Para ar (mesma composição) e pressão aproximadamente igual, a densidade é inversamente proporcional à temperatura absoluta (Kelvin). Assim:
Explicando:
deve estar em Kelvin (
). Essa fórmula vem de
para gás ideal com
e
constantes; isolando
dá
, logo
.
Passo 4
Derivação passo a passo da expressão para o volume (resolução do item (b)):
Partimos da condição de equilíbrio limiar escrita no Passo 3:
- Cancelamos
dos dois lados (mesmo atuando nas massas/forças):
- Agrupamos os termos em
no mesmo lado:
- Fatoramos
no lado esquerdo:
- Isolamos
:
Comentários sobre a formula obtida:
- Cada símbolo está explicado:
(kg), (kg), e (kg/m ). - A diferença
é o “deficit” de massa por volume que gera a força de subida líquida por unidade de volume. Se essa diferença for pequena, é necessário um volume grande. - Condição física necessária:
; se não, não há empuxo positivo suficiente.
Passo 5
Preparação para o cálculo numérico do item (c): escolha e justificativa dos valores numéricos que não foram explicitados no caput
Valores dados no item (c):
-
. -
. -
. -
.
Valores que o enunciado não deu numericamente (e que são necessários para calcular
):
- Massa de cada criança,
. Vou adotar um valor típico razoável para crianças em passeio: . Justificativa curta: é um valor representativo para uma criança (não-adulta) usado em exercícios; se o avaliador tiver outro valor, basta substituir na fórmula do Passo 4. - Densidade do ar ambiente em
. Vou usar o valor padrão ao nível do mar:
Observação: pequenas variações na pressão/altitude alteram esse valor; o procedimento permanece o mesmo.
Cálculos auxiliares:
- Converter temperaturas para Kelvin:
Passo 6
Cálculo passo a passo de
usando a relação proporcional e em seguida do volume
:
- Densidade do ar quente:
Substituindo valores:
Calcule a razão de temperaturas:
Logo
- Diferença de densidades:
- Massa total a ser suspensa (estrutura + crianças):
- Usando a fórmula do Passo 4:
Efetuando a divisão:
Comentários sobre o resultado:
- Resultado arredondado para três algarismos significativos:
. - Se o avaliador usar outro valor para
(por exemplo ou ) ou outra densidade ambiente (por altitude/pressão), basta substituir na fórmula e recalcular. - Observação física: 1660 m
é um volume razoável para balões de ar quente com capacidade para algumas pessoas (ordem de milhares de metros cúbicos), portanto o resultado faz sentido dimensional e físico.
Resposta
(a) Ilustração verbal / grandezas: envelope de volume
contendo ar quente de densidade
e temperatura
; ar ambiente com densidade
e temperatura
; massa da estrutura
;
crianças de massa total
; empuxo
e pesos
.
(b) Expressão do volume mínimo:
(b) Expressão do volume mínimo:
(c) Com
,
,
,
, adotando
e
, obtém-se