[Inspirado na “Turma do Balão Mágico”] Um balão de ar quente transporta N crianças, cada uma com massa M_{\text {criança }}ç. A temperatura do ar ambiente é T_{\text {Ambiente }} e a densidade do ar ambiente é dada por \rho_{\text {Ar Ambiente }}. A temperatura média do ar quente no interior do balão é T_{\text {Quente }} e sua densidade é dada representada por \rho_{\text {Ar Quente }}. Considere que estrutura “sólida” do balão (massa do cesto, operador, cabos, tecido e acessórios de aquecimento, sem considerar o ar em seu interior) é representada por M_{\text {Balão }}ã.
a) Leia todo o enunciado e inclusive os itens solicitados abaixo e ilustre o cenário da atividade, inclusive inserindo todas as grandezas técnicas possíveis, de forma que melhor ajudará a desenvolver o que se pede, bem como esclarecer ao avaliador todos os detalhes considerados.
b) Determine uma expressão para o volume do balão, para iniciar o processo de flutuar?
c) Considere que 04 crianças irão passear de balão em um dia em que a temperatura ambiente for 15^{\circ} \mathrm{C}, e que os dados do balão são T_{\text {Quente }}=90^{\circ} \mathrm{C} e M_{\text {Balão }}=300 \mathrm{~kg}ã. Também considere os demais dados numéricos disponíveis no caput da prova. Determine o volume do balão, para iniciar o processo de flutuar?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. (a) Ilustrar o cenário da atividade e listar todas as grandezas técnicas que ajudam a resolver o problema.
  2. (b) Determinar uma expressão para o volume do balão necessário para iniciar o processo de flutuar.
  3. (c) Para o caso numérico com 4 crianças, T_{\text{Ambiente}}=15^\circ\mathrm{C}, T_{\text{Quente}}=90^\circ\mathrm{C} e M_{\text{Balão}}=300\\ \mathrm{kg}ã, além dos demais dados do caput, calcular o volume do balão para que ele comece a flutuar.
Informações fornecidas no enunciado (lista direta):
  • Número de crianças: \,N (no item (c) diz-se \,N=4).
  • Massa de cada criança: \,M_{\text{criança}}ç (símbolo dado; valor numérico não fornecido no caput).
  • Temperatura ambiente: \,T_{\text{Ambiente}}=15^\circ\mathrm{C}.
  • Densidade do ar ambiente: \,\rho_{\text{Ar Ambiente}} (símbolo fornecido; valor numérico típico será adotado posteriormente).
  • Temperatura do ar quente no interior do balão: \,T_{\text{Quente}}=90^\circ\mathrm{C}.
  • Densidade do ar quente: \,\rho_{\text{Ar Quente}} (símbolo fornecido; pode ser obtida a partir de \rho_{\text{Ar Ambiente}} e das temperaturas usando aproximação de gás ideal).
  • Massa da estrutura do balão (cesto, operador, cabos, tecido, acessórios, excluindo o ar): \,M_{\text{Balão}}=300\\ \mathrm{kg}ã (dado no item (c)).
Observações importantes (apenas listagem; sem resolver ainda):
  • Para calcular o volume numérico é necessário um valor numérico para \,M_{\text{criança}}ç e um valor numérico para \rho_{\text{Ar Ambiente}}; estes não foram explicitamente numéricos no caput, portanto adotarei valores técnicos padrão quando chegar no cálculo numérico (vou explicitar e justificar a escolha).
  • As perguntas (b) e (c) exigem usar princípios de empuxo (peso do fluido deslocado) e equilíbrio de forças/ pesos.

Passo 2

Ilustração verbal do cenário e lista completa de grandezas (isto é o pedido do item (a), apresentado de forma técnica para que o avaliador entenda tudo que considerei):
Descrição do sistema (diagrama verbal):
  • Um invólucro esférico/ovoidal (o envelope do balão) contém ar quente à temperatura \,T_{\text{Quente}} e tem volume \,V.
  • O ar ambiente, externo ao envelope, tem temperatura \,T_{\text{Ambiente}} e densidade \,\rho_{\text{Ar Ambiente}}.
  • O ar dentro do envelope tem densidade \,\rho_{\text{Ar Quente}}.
  • A força de empuxo atua para cima e tem módulo igual ao peso do volume de ar ambiente deslocado.
  • As forças que pesam para baixo são: o peso da estrutura do balão (cesto, operador, tecidos, etc.), o peso das N crianças e o peso do ar quente que está dentro do envelope.
  • Constantes e quantidades que uso: aceleração da gravidade \,g (vou trabalhar com cancelamento de g na equação final, mas mantenho o símbolo para clareza).
Lista de grandezas técnicas (nome, símbolo e unidade típica):
  • Volume do envelope: \,V (em \mathrm{m^3}).
  • Temperatura ambiente: \,T_{\text{Ambiente}} (em ^\circ\mathrm{C} ou em K).
  • Temperatura interna (ar quente): \,T_{\text{Quente}} (em ^\circ\mathrm{C} ou em K).
  • Densidade do ar ambiente: \,\rho_{\text{Ar Ambiente}} (em \mathrm{kg/m^3}).
  • Densidade do ar quente: \,\rho_{\text{Ar Quente}} (em \mathrm{kg/m^3}).
  • Massa das crianças (total): \,N M_{\text{criança}}ç (em \mathrm{kg}).
  • Massa da estrutura do balão: \,M_{\text{Balão}}ã (em \mathrm{kg}).
  • Aceleração da gravidade: \,g (em \mathrm{m/s^2}, cancela nas equações de equilíbrio em geral).
Observação sobre medição de \rho_{\text{Ar Ambiente}} e \rho_{\text{Ar Quente}}:
  • \rho_{\text{Ar Ambiente}} pode ser tomada de tabelas (dependendo de pressão/temperatura) ou medida. Para um problema de prova, usa-se frequentemente a densidade do ar ao nível do mar.
  • \rho_{\text{Ar Quente}} pode ser obtida a partir da aproximação do gás ideal (mesma pressão do ambiente; densidade é proporcional a 1/T em Kelvin).

Passo 3

Princípios físicos e fórmulas que vamos usar (aula curta, explicando cada variável):
  1. Princípio de Arquimedes (empuxo):
  • O empuxo resultante para cima vale o peso do fluido deslocado. Em símbolos:
\text{Empuxo} = \rho_{\text{Ar Ambiente}}\,V\,g.
Aqui \rho_{\text{Ar Ambiente}} é a densidade do ar externo, V é o volume deslocado (o volume do balão) e g é a aceleração da gravidade. O produto \rho V dá a massa do ar deslocado; multiplicando por g dá o peso do ar deslocado.
  1. Peso do sistema que fica para baixo:
  • Soma dos pesos da estrutura, das crianças e do ar quente dentro do envelope:
\text{Peso total} = \bigl(M_{\text{Balão}} + N M_{\text{criança}} + \rho_{\text{Ar Quente}} V\bigr)\,g.ãç
Explicando variáveis: M_{\text{Balão}}ã é a massa seca do balão (kg), N M_{\text{criança}}ç é a massa combinada das crianças (kg), \rho_{\text{Ar Quente}} V é a massa do ar quente que ocupa o volume V.
  1. Condição para começar a flutuar (equilíbrio limiar):
  • Para que o balão “comece a flutuar”, o empuxo precisa ser pelo menos igual ao peso total. Consideramos aqui a condição limite de equilíbrio (empuxo igual ao peso total):
\rho_{\text{Ar Ambiente}}\,V\,g = \bigl(M_{\text{Balão}} + N M_{\text{criança}} + \rho_{\text{Ar Quente}} V\bigr)\,g.ãç
Note que g aparece dos dois lados; ele pode ser cancelado depois.
  1. Relação entre densidades e temperaturas (aproximação do gás ideal, pressão aproximadamente igual dentro/fora):
  • Para ar (mesma composição) e pressão aproximadamente igual, a densidade é inversamente proporcional à temperatura absoluta (Kelvin). Assim:
\rho_{\text{Ar Quente}} \approx \rho_{\text{Ar Ambiente}} \cdot \frac{T_{\text{Ambiente (K)}}}{T_{\text{Quente (K)}}}.
Explicando: T deve estar em Kelvin ( T_\text{K} = T_{^\circ\mathrm{C}} + 273{,}15). Essa fórmula vem de p = \rho R T para gás ideal com p e R constantes; isolando \rho \rho = \dfrac{p}{R T}, logo \rho \propto 1/T.

Passo 4

Derivação passo a passo da expressão para o volume (resolução do item (b)):
Partimos da condição de equilíbrio limiar escrita no Passo 3:
\rho_{\text{Ar Ambiente}}\,V\,g = \bigl(M_{\text{Balão}} + N M_{\text{criança}} + \rho_{\text{Ar Quente}} V\bigr)\,g.ãç
  1. Cancelamos g dos dois lados (mesmo g atuando nas massas/forças):
\rho_{\text{Ar Ambiente}}\,V = M_{\text{Balão}} + N M_{\text{criança}} + \rho_{\text{Ar Quente}} V.ãç
  1. Agrupamos os termos em V no mesmo lado:
\rho_{\text{Ar Ambiente}}\,V - \rho_{\text{Ar Quente}} V = M_{\text{Balão}} + N M_{\text{criança}}.ãç
  1. Fatoramos V no lado esquerdo:
V\bigl(\rho_{\text{Ar Ambiente}} - \rho_{\text{Ar Quente}}\bigr) = M_{\text{Balão}} + N M_{\text{criança}}.ãç
  1. Isolamos V:
\boxed{\,V = \dfrac{M_{\text{Balão}} + N M_{\text{criança}}}{\rho_{\text{Ar Ambiente}} - \rho_{\text{Ar Quente}}}\,}.ãç
Comentários sobre a formula obtida:
  • Cada símbolo está explicado: M_{\text{Balão}}ã (kg), N M_{\text{criança}}ç (kg), \rho_{\text{Ar Ambiente}} e \rho_{\text{Ar Quente}} (kg/m ^3).
  • A diferença \rho_{\text{Ar Ambiente}} - \rho_{\text{Ar Quente}} é o “deficit” de massa por volume que gera a força de subida líquida por unidade de volume. Se essa diferença for pequena, é necessário um volume grande.
  • Condição física necessária: \rho_{\text{Ar Ambiente}} > \rho_{\text{Ar Quente}}; se não, não há empuxo positivo suficiente.

Passo 5

Preparação para o cálculo numérico do item (c): escolha e justificativa dos valores numéricos que não foram explicitados no caput
Valores dados no item (c):
  • N = 4.
  • T_{\text{Ambiente}} = 15^\circ\mathrm{C}.
  • T_{\text{Quente}} = 90^\circ\mathrm{C}.
  • M_{\text{Balão}} = 300\\ \mathrm{kg}ã.
Valores que o enunciado não deu numericamente (e que são necessários para calcular V):
  1. Massa de cada criança, \,M_{\text{criança}}ç. Vou adotar um valor típico razoável para crianças em passeio: \boxed{M_{\text{criança}} = 30\\ \mathrm{kg}}ç. Justificativa curta: é um valor representativo para uma criança (não-adulta) usado em exercícios; se o avaliador tiver outro valor, basta substituir na fórmula do Passo 4.
  2. Densidade do ar ambiente em 15^\circ\mathrm{C}. Vou usar o valor padrão ao nível do mar:
\boxed{\rho_{\text{Ar Ambiente}} = 1{,}225\\ \mathrm{kg/m^3}}\quad\text{(valor padrão aproximado a }15^\circ\mathrm{C}\text{)}.ã
Observação: pequenas variações na pressão/altitude alteram esse valor; o procedimento permanece o mesmo.
Cálculos auxiliares:
  • Converter temperaturas para Kelvin:
T_{\text{Ambiente (K)}} = 15 + 273{,}15 = 288{,}15\\ \mathrm{K},
T_{\text{Quente (K)}} = 90 + 273{,}15 = 363{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Cálculo passo a passo de \rho_{\text{Ar Quente}} usando a relação proporcional e em seguida do volume V:
  1. Densidade do ar quente:
\rho_{\text{Ar Quente}} \approx \rho_{\text{Ar Ambiente}} \cdot \frac{T_{\text{Ambiente (K)}}}{T_{\text{Quente (K)}}}.
Substituindo valores:
\rho_{\text{Ar Quente}} \approx 1{,}225\cdot\frac{288{,}15}{363{,}15}.
Calcule a razão de temperaturas:
\frac{288{,}15}{363{,}15} \approx 0{,}7937\quad(\text{aprox.}).
Logo
\rho_{\text{Ar Quente}} \approx 1{,}225\times 0{,}7937 \approx 0{,}972\\ \mathrm{kg/m^3}.
  1. Diferença de densidades:
\Delta \rho \equiv \rho_{\text{Ar Ambiente}} - \rho_{\text{Ar Quente}} \approx 1{,}225 - 0{,}972 = 0{,}253\\ \mathrm{kg/m^3}.
  1. Massa total a ser suspensa (estrutura + crianças):
M_{\text{total}} = M_{\text{Balão}} + N M_{\text{criança}} = 300 + 4\times 30 = 300 + 120 = 420\\ \mathrm{kg}.ãç
  1. Usando a fórmula do Passo 4:
V = \dfrac{M_{\text{total}}}{\Delta \rho} = \dfrac{420}{0{,}253}\\ \mathrm{m^3}.
Efetuando a divisão:
V \approx 1660\\ \mathrm{m^3}\quad(\text{aprox. }1{,}66\times 10^{3}\\ \mathrm{m^3}).
Comentários sobre o resultado:
  • Resultado arredondado para três algarismos significativos: V\approx 1660\\ \mathrm{m^3}.
  • Se o avaliador usar outro valor para M_{\text{criança}}ç (por exemplo 25\\ \mathrm{kg} ou 35\\ \mathrm{kg}) ou outra densidade ambiente (por altitude/pressão), basta substituir na fórmula \;V = \dfrac{M_{\text{Balão}} + N M_{\text{criança}}}{\rho_{\text{Ar Ambiente}} - \rho_{\text{Ar Quente}}}\;ãç e recalcular.
  • Observação física: 1660 m ^3 é um volume razoável para balões de ar quente com capacidade para algumas pessoas (ordem de milhares de metros cúbicos), portanto o resultado faz sentido dimensional e físico.

Resposta

(a) Ilustração verbal / grandezas: envelope de volume \,V contendo ar quente de densidade \rho_{\text{Ar Quente}} e temperatura \,T_{\text{Quente}}; ar ambiente com densidade \rho_{\text{Ar Ambiente}} e temperatura \,T_{\text{Ambiente}}; massa da estrutura \,M_{\text{Balão}}ã; N crianças de massa total N M_{\text{criança}}ç; empuxo \rho_{\text{Ar Ambiente}} V g e pesos (M_{\text{Balão}}+N M_{\text{criança}}+\rho_{\text{Ar Quente}}V)gãç.
(b) Expressão do volume mínimo:
V = \dfrac{M_{\text{Balão}} + N M_{\text{criança}}}{\rho_{\text{Ar Ambiente}} - \rho_{\text{Ar Quente}}}.ãç
(c) Com N=4, T_{\text{Ambiente}}=15^\circ\mathrm{C}, T_{\text{Quente}}=90^\circ\mathrm{C}, M_{\text{Balão}}=300\\ \mathrm{kg}ã, adotando M_{\text{criança}}=30\\ \mathrm{kg}ç e \rho_{\text{Ar Ambiente}}=1{,}225\\ \mathrm{kg/m^3}, obtém-se
V \approx 1660\\ \mathrm{m^3}.

Exercícios relacionados