O espelho de cabeça é um instrumento outrora muito utilizado pelos médicos, especialmente os otorrinolaringologistas. Trata-se de um espelho esférico côncavo capaz de concentrar a luz ambiente em um ponto específico do corpo do paciente. Olhando através de um pequeno orificio, o especialista consegue examinar regiōes muito bem iluminadas pela luz refletida. Supondo-se que um médico ajustou a posição do foco de seu espelho para a orelha de uma pessoa distante 80 cm do orificio do instrumento, pede-se determinar o raio de curvatura, R , desse refletor. Admita em sua resposta que o espelho esteja em operação de acordo com as condições de estigmatismo de Gauss.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação: o médico ajustou a posição do foco do espelho para a orelha de uma pessoa que está distante
do orifício do instrumento. - Informação implícita (a partir da descrição do uso do espelho): a luz ambiente que o espelho concentra pode ser tratada como proveniente de objetos muito distantes (raios praticamente paralelos) — é isso que o espelho está focalizando na orelha.
- Pedido: determinar o raio de curvatura
do espelho esférico côncavo, assumindo que o espelho opera segundo as condições de estigmatismo de Gauss (aproximação paraxial).
Passo 2
Entendendo o que significa “foco” aqui (aula rápida e sem dor):
- O foco de um espelho côncavo é o ponto onde chegam os raios que eram paralelos ao eixo principal do espelho, após reflexão.
- Quando a fonte de luz está muito distante (sol, iluminação ambiente distante), os raios que chegam ao espelho são, para efeitos práticos, paralelos. Portanto o espelho concentra esses raios em seu foco.
- Assim, se o médico ajustou o foco para cair exatamente na orelha que está a
, isso significa que a distância focal do espelho, medida a partir do vértice do espelho até o foco, é . Vou chamar de essa distância focal.
Passo 3
Apresentando a fórmula que liga distâncias em espelhos esféricos (explicando cada símbolo):
- Existe uma fórmula geral para espelhos esféricos na aproximação paraxial, que relaciona a distância do objeto
, a distância da imagem e o raio de curvatura :
- Aqui:
é a distância do objeto ao vértice do espelho (positiva para objetos na frente do espelho), é a distância da imagem ao vértice (positiva para imagens reais na frente do espelho) e é o raio de curvatura da superfície esférica (positiva para espelho côncavo, sob a convenção usual). - No caso de raios paralelos (objeto “no infinito”), fazemos
. Então e a fórmula vira
- O ponto onde esses raios paralelos convergem é o foco, cuja distância
é exatamente a distância focal . Portanto:
Passo 4
Isolando a relação entre
e
(a fórmula-chave que usamos na prova):
- Da equação anterior obtemos
- Ou, invertendo,
- Essa é uma relação muito usada: para um espelho esférico côncavo, na aproximação paraxial (condições de Gauss), a distância focal é a metade do raio de curvatura. Intuitivamente: o centro da esfera está a duas vezes o foco contado a partir do vértice.
Passo 5
Aplicando os números do problema e finalizando os cálculos:
- Pelo enunciado, o foco foi ajustado para a orelha a
, logo . - Usando
temos