O espelho de cabeça é um instrumento outrora muito utilizado pelos médicos, especialmente os otorrinolaringologistas. Trata-se de um espelho esférico côncavo capaz de concentrar a luz ambiente em um ponto específico do corpo do paciente. Olhando através de um pequeno orificio, o especialista consegue examinar regiōes muito bem iluminadas pela luz refletida. Supondo-se que um médico ajustou a posição do foco de seu espelho para a orelha de uma pessoa distante 80 cm do orificio do instrumento, pede-se determinar o raio de curvatura, R , desse refletor. Admita em sua resposta que o espelho esteja em operação de acordo com as condições de estigmatismo de Gauss.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação: o médico ajustou a posição do foco do espelho para a orelha de uma pessoa que está distante 80\\ \text{cm} do orifício do instrumento.
  • Informação implícita (a partir da descrição do uso do espelho): a luz ambiente que o espelho concentra pode ser tratada como proveniente de objetos muito distantes (raios praticamente paralelos) — é isso que o espelho está focalizando na orelha.
  • Pedido: determinar o raio de curvatura R do espelho esférico côncavo, assumindo que o espelho opera segundo as condições de estigmatismo de Gauss (aproximação paraxial).

Passo 2

Entendendo o que significa “foco” aqui (aula rápida e sem dor):
  • O foco de um espelho côncavo é o ponto onde chegam os raios que eram paralelos ao eixo principal do espelho, após reflexão.
  • Quando a fonte de luz está muito distante (sol, iluminação ambiente distante), os raios que chegam ao espelho são, para efeitos práticos, paralelos. Portanto o espelho concentra esses raios em seu foco.
  • Assim, se o médico ajustou o foco para cair exatamente na orelha que está a 80\\ \text{cm}, isso significa que a distância focal do espelho, medida a partir do vértice do espelho até o foco, é f = 80\\ \text{cm}. Vou chamar de f essa distância focal.

Passo 3

Apresentando a fórmula que liga distâncias em espelhos esféricos (explicando cada símbolo):
  • Existe uma fórmula geral para espelhos esféricos na aproximação paraxial, que relaciona a distância do objeto p, a distância da imagem q e o raio de curvatura R:
\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{2}{R}.
  • Aqui: p é a distância do objeto ao vértice do espelho (positiva para objetos na frente do espelho), q é a distância da imagem ao vértice (positiva para imagens reais na frente do espelho) e R é o raio de curvatura da superfície esférica (positiva para espelho côncavo, sob a convenção usual).
  • No caso de raios paralelos (objeto “no infinito”), fazemos p\to\infty. Então 1/p\to 0 e a fórmula vira
\frac{1}{q}=\frac{2}{R}.
  • O ponto onde esses raios paralelos convergem é o foco, cuja distância q é exatamente a distância focal f. Portanto:
\frac{1}{f}=\frac{2}{R}.

Passo 4

Isolando a relação entre f e R (a fórmula-chave que usamos na prova):
  • Da equação anterior obtemos
f=\frac{R}{2}.
  • Ou, invertendo,
R=2f.
  • Essa é uma relação muito usada: para um espelho esférico côncavo, na aproximação paraxial (condições de Gauss), a distância focal é a metade do raio de curvatura. Intuitivamente: o centro da esfera está a duas vezes o foco contado a partir do vértice.

Passo 5

Aplicando os números do problema e finalizando os cálculos:
  • Pelo enunciado, o foco foi ajustado para a orelha a 80\\ \text{cm}, logo f=80\\ \text{cm}.
  • Usando R=2f temos
R = 2\cdot 80\\ \text{cm} = 160\\ \text{cm}.

Resposta

R=160\\ \text{cm}

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