No instante em que o deslocamento de um objeto de 2,00 kg em relação à origem é d=(2,00 m) i+(4,00 m) j-(3,00 m) k, sua velocidade é v=-(6,00 m/s) i+(3,00 m/s) j+(3,00 m/s) k e ele está sujeito a uma força F=(6.00 N) i-(8.00 N) j+(4.00 N) k. Determine (d) o ângulo entre a velocidade do objeto e a força que age sobre ele.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um objeto de 2,00 kg que tem um certo deslocamento, velocidade e está sujeito a uma força. A gente precisa descobrir o ângulo entre a velocidade do objeto e a força que age sobre ele. Para fazer isso, vamos usar conceitos de vetores, especificamente o produto escalar e a fórmula para encontrar o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores envolvidos:
  • Velocidade ( v): -6,00 , m/s , i + 3,00 , m/s , j + 3,00 , m/s , k
  • Força ( F): 6,00 , N , i - 8,00 , N , j + 4,00 , N , k

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. O produto escalar entre v e F é dado por:
v cdot F = vx cdot Fx + vy cdot Fy + vz cdot Fz
Vamos calcular isso:
v cdot F = (-6,00) cdot 6,00 + 3,00 cdot (-8,00) + 3,00 cdot 4,00
v cdot F = (-36,00) + (-24,00) + 12,00 = -48,00

Passo 4

Agora, precisamos calcular o módulo de cada vetor, que é a “tamanho” do vetor. A fórmula para o módulo de um vetor A = Ax i + Ay j + Az k é:
|A| = raizAx^2 + Ay^2 + Az^2
Vamos calcular o módulo da velocidade:
|v| = raiz(-6,00)^2 + (3,00)^2 + (3,00)^2 = raiz36 + 9 + 9 = raiz54 approx 7,35 , m/s
E o módulo da força:
|F| = raiz6,00^2 + (-8,00)^2 + 4,00^2 = raiz36 + 64 + 16 = raiz116 approx 10,77 , N

Passo 5

Com o produto escalar e os módulos dos vetores, podemos agora usar a fórmula para encontrar o ângulo theta entre os dois vetores:
cos(theta) = v cdot F|v| cdot |F|
Substituindo os valores que encontramos:
cos(theta) = -48,007,35 cdot 10,77 approx -48,0079,16 approx -0,606
Para encontrar o ângulo, tiramos o arco cosseno:
theta = arccos(-0,606) approx 126,1^circ

Resposta

O ângulo entre a velocidade do objeto e a força que age sobre ele é de aproximadamente 126,1 graus.

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