Mostre que v< as equações de transformação para x, t e u se reduzem às equações de Galileu.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, quando a velocidade é muito menor que a velocidade da luz ( ), as equações de transformação de Lorentz para as coordenadas , e a velocidade se simplificam para as equações de Galileu. Isso envolve conceitos de Teoria da Relatividade Especial e Transformações de Galileu. Para resolver isso, vamos precisar das equações de Lorentz e das equações de Galileu, além de entender como aproximar as expressões quando é muito pequeno comparado a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as transformações de Lorentz para uma referência que se move com velocidade x' = gamma (x - v t) em relação à outra:
t' = gamma (t - v xc^2)
u' = u - v1 - u vc^2
Onde .

Passo 3

Agora, vamos considerar que gamma = 1raiz1 - v^2c^2 approx 1 + 12 v^2c^2 approx 1 . Isso significa que é um número muito pequeno. Quando temos termos com , eles são ainda menores e podemos desprezar essas parcelas.
Primeiro, simplificamos :
Pois é muito pequeno.

Passo 4

Substituindo x' approx x - v t nas equações de Lorentz:
t' approx t - v xc^2
u' approx u - v1 - u vc^2 approx u - v
t' approx t
No caso de , o termo também é muito pequeno e pode ser desprezado:

Passo 5

Agora, temos as transformações simplificadas:
x' = x - v t
t' = t
u' = u - v
Essas são exatamente as transformações de Galileu, que são válidas quando as velocidades envolvidas são muito menores que a velocidade da luz.

Resposta

Quando x' = x - v t , as transformações de Lorentz para t' = t , u' = u - v e simplificam-se para:
Essas são as equações de Galileu.

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