Resolva as equações de Bernoulli
\frac{d y}{d x}-\mathrm{y}=2 e^{x} y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Bernoulli
\frac{dy}{dx}-y = 2e^{x}y^{2}.
O conteúdo aqui é o método para equações de Bernoulli, que têm forma
\frac{dy}{dx} + p(x)\,y = q(x)\,y^{n}.
Vamos identificar p(x), q(x) e n e depois aplicar a substituição padrão.

Passo 2

Colocamos a equação no formato de Bernoulli:
\frac{dy}{dx} + \bigl(-1\bigr)y = 2e^{x}\,y^{2}.
Daí temos
p(x) = -1,\quad q(x)=2e^{x},\quad n=2.
A substituição para Bernoulli é
z = y^{1-n} = y^{1-2} = y^{-1}.

Passo 3

Calculamos \displaystyle \frac{dz}{dx}. Como z=y^{-1},
\frac{dz}{dx} = -y^{-2}\,\frac{dy}{dx}.
Logo
-y^{-2}\,\frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx} \quad\Longrightarrow\quad y^{-2}\,\frac{dy}{dx} = -\frac{dz}{dx}.

Passo 4

Substituímos \displaystyle \frac{dy}{dx} da equação original em y^{-2}\,\frac{dy}{dx}:
y^{-2}\,\frac{dy}{dx} = y^{-2}\bigl(y + 2e^{x}y^{2}\bigr) = y^{-1} + 2e^{x}.
Portanto
-\frac{dz}{dx} = z + 2e^{x},
pois y^{-1}=z. Reescrevendo,
\frac{dz}{dx} + z = -2e^{x}.

Passo 5

Resolvemos agora essa equação linear em z. O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int 1\,dx} = e^{x}.
Multiplicando a equação por e^{x} obtemos
e^{x}\frac{dz}{dx} + e^{x}z = -2e^{2x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(e^{x}z\bigr) = -2e^{2x}.
Integramos ambos os lados:
e^{x}z = -\int 2e^{2x}\,dx + C = -e^{2x} + C.
Logo
z = -e^{x} + C e^{-x}.

Passo 6

Voltamos à variável y. Lembremos que z=y^{-1}, então
\frac{1}{y} = -e^{x} + C e^{-x} \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1}{C e^{-x} - e^{x}}.
Podemos também escrever multiplicando numerador e denominador por e^{x}:
y = \frac{e^{x}}{C - e^{2x}}.

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = \frac{e^{x}}{C - e^{2x}},
onde C é constante arbitrária.

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