No instante t=0, uma partícula está na origem com velocidade de 30 \mathrm{~m} / \\mathrm{s} e ângulo 8=44.2^{\circ} com relação à horizontal. No instante t=2.1 \mathrm{~s}, a partícula está em x=131 m, y=61 m, com velocidade de 21.8 m / s e 8=57.1^{\circ}. Calcule:
O vetor velocidade média

Passo 1

Dados e o que o enunciado pede (sem resolver ainda):
  • No instante t=0:
    • posição inicial: \vec r_0=(0,0) metros (a partícula está na origem).
    • velocidade inicial: v_0=30\\ \mathrm{m/s} com ângulo \theta_0=44{,}2^\circ (dado, não será necessário para o cálculo pedido).
  • No instante t=2{,}1\\ \mathrm{s}:
    • posição final: \vec r_f=(131,61) metros (peguei estes valores do enunciado).
    • velocidade final: v_f=21{,}8\\ \mathrm{m/s} com ângulo \theta_f=57{,}1^\circ (dado, também não necessário para o pedido).
  • O enunciado pede: calcular o vetor velocidade média no intervalo t=0 até t=2{,}1\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (aula rápida e clara):
  • Deslocamento \Delta \vec r é a diferença entre posição final e posição inicial. Em componentes, \Delta \vec r = \vec r_f - \vec r_0.Aqui \Delta \vec r tem unidades de metros ( \mathrm{m}).
  • Velocidade média \vec v_{\text{médio}}é é o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo \Delta t: \vec v_{\text{médio}} = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}.éNesta fórmula:
    • \vec v_{\text{médio}}é tem componentes (v_{x,\text{médio}},\,v_{y,\text{médio}})éé em \mathrm{m/s};
    • \Delta t = t_f - t_0 é o tempo decorrido em segundos ( \mathrm{s}).
Vou explicar: isso significa que a velocidade média em cada direção é simplesmente quanto a coordenada mudou nessa direção dividido pelo tempo total. Simples e direto — ótimo para prova.

Passo 3

Calcular o deslocamento (subtração componente a componente):
  • Como \vec r_0=(0,0) e \vec r_f=(131,61), \Delta \vec r = (131-0,\;61-0) = (131,\;61)\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o intervalo de tempo \Delta t:
  • t_0=0\\ \mathrm{s} e t_f=2{,}1\\ \mathrm{s}, logo \Delta t = 2{,}1-0 = 2{,}1\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Aplicar a fórmula da velocidade média componente a componente:
  • Pela fórmula, v_{x,\text{médio}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{131}{2{,}1}\\ \mathrm{m/s},é
v_{y,\text{médio}}=\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{61}{2{,}1}\\ \mathrm{m/s}.é
Explicação prática para dividir sem calculadora: multiplicamos numerador e denominador por 10 para eliminar a vírgula no denominador:
\frac{131}{2{,}1}=\frac{1310}{21},\qquad \frac{61}{2{,}1}=\frac{610}{21}.
Agora fazemos a divisão inteira para obter a parte inteira e o resto:
  • Para \dfrac{1310}{21}: 21\times 62 = 1302 com resto 8. Logo
    \frac{1310}{21}=62+\frac{8}{21}=62{,}380952\ldots
    (a fração \dfrac{8}{21} gera a repetição decimal 0{,}380952\ldots).
  • Para \dfrac{610}{21}: 21\times 29 = 609 com resto 1. Logo
    \frac{610}{21}=29+\frac{1}{21}=29{,}047619\ldots
    (a fração \dfrac{1}{21} gera a repetição decimal 0{,}047619\ldots).

Passo 6

Escrever o vetor velocidade média e comentar arredondamento:
  • Em forma de componentes exatas em fração: \vec v_{\text{médio}}=\left(\frac{131}{2{,}1},\;\frac{61}{2{,}1}\right)\\ \mathrm{m/s}.é
  • Em valores decimais (com repetição mostrada e arredondando a três casas decimais, comum em provas): \vec v_{\text{médio}}\approx(62{,}381,\;29{,}048)\\ \mathrm{m/s}.é
Observação amigável: note que o \Delta t cancela se quisermos a direção (ângulo) porque
\frac{v_{y,\text{médio}}}{v_{x,\text{médio}}}=\frac{61/2{,}1}{131/2{,}1}=\frac{61}{131},éé
então o ângulo da velocidade média em relação ao eixo x é \arctan(61/131)\approx 24{,}99^\circ. Também, o módulo pode ser obtido por
|\vec v_{\text{médio}}|=\frac{\sqrt{131^2+61^2}}{2{,}1}\approx 68{,}81\\ \mathrm{m/s},é
caso queira comparar rapidez média com velocidades instantâneas dadas.

Resposta

\displaystyle \vec v_{\text{médio}}=\left(\frac{131}{2{,}1},\;\frac{61}{2{,}1}\right)\\ \mathrm{m/s}\approx(62{,}381,\;29{,}048)\\ \mathrm{m/s}é

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