Questão 3: Na expressão aproximada para o campo elétrico de um quadrupolo elétrico, da expansão binomial, encontre o termo seguinte E_{2} da expressão do campo elétrico de um quadrupolo em pontos do eixo z. Em outras palavras, qual é o valor de E_{2} na expressão?
E=\frac{3 Q}{4 \pi \varepsilon_{0} z^{4}}+E_{2} ?

Passo 1

O enunciado pede para achar o termo seguinte E_{2} na expansão aproximada do campo elétrico de um quadrupolo em pontos do eixo z, dado que
E=\frac{3 Q}{4 \pi \varepsilon_{0} z^{4}}+E_{2}.
Informações relevantes que vamos usar (assumindo a configuração padrão de quadrupolo linear usada em muitas provas): uma distribuição de três cargas no eixo z: +q em z=+a, -2q em z=0 e +q em z=-a. Essa configuração tem carga total nula e momento dipolar nulo, e o primeiro termo não-nulo no campo distante é o termo quadrupolar que decai como 1/z^{4}, já dado na expressão. Não vamos mudar o enunciado; vamos apenas expandir a expressão exata do campo dessa configuração para obter o próximo termo.

Passo 2

Escrevendo o campo exato no eixo z (para z>a, isto é, ponto de observação à direita das cargas) como soma dos campos das três cargas pontuais, lembrando que o campo de uma carga q em z'=z_{0} no ponto z do eixo é \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q}{(z-z_{0})^{2}} (apontando no sentido +z se z>z_{0}):
E(z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left[\frac{q}{(z-a)^{2}}+\frac{-2q}{z^{2}}+\frac{q}{(z+a)^{2}}\right].
Expliquei: cada termo vem diretamente da expressão do campo de uma carga pontual ao longo do eixo.

Passo 3

Fatorando \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_{0}} e escrevendo em termos do parâmetro pequeno x=\dfrac{a}{z} (pois vamos considerar z\gg a para a expansão), temos
E(z)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left[\frac{1}{(z-a)^{2}}+\frac{1}{(z+a)^{2}}-\frac{2}{z^{2}}\right].
Agora usamos a expansão binomial para (1\pm x)^{-2}. A série de Taylor (binomial) para (1\pm x)^{-2} é
(1\pm x)^{-2}=1\mp 2x+3x^{2}\mp 4x^{3}+5x^{4}+\cdots,
onde x=\dfrac{a}{z}. Vou aplicar essa expansão a 1/(z\pm a)^{2}=z^{-2}(1\pm x)^{-2}.

Passo 4

Expandindo:
\frac{1}{(z-a)^{2}}=z^{-2}\big(1+2x+3x^{2}+4x^{3}+5x^{4}+\cdots\big),
\frac{1}{(z+a)^{2}}=z^{-2}\big(1-2x+3x^{2}-4x^{3}+5x^{4}+\cdots\big).
Somando essas duas expansões:
\frac{1}{(z-a)^{2}}+\frac{1}{(z+a)^{2}}=z^{-2}\big(2+6x^{2}+10x^{4}+\cdots\big).
Então o conteúdo entre colchetes em E(z) fica
\frac{1}{(z-a)^{2}}+\frac{1}{(z+a)^{2}}-\frac{2}{z^{2}}=z^{-2}\big(2+6x^{2}+10x^{4}+\cdots\big)-\frac{2}{z^{2}}=6z^{-2}x^{2}+10z^{-2}x^{4}+\cdots.

Passo 5

Substituindo x=\dfrac{a}{z} e multiplicando pelo fator \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}, obtemos a série do campo:
E(z)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left[6\frac{a^{2}}{z^{4}}+10\frac{a^{4}}{z^{6}}+\cdots\right] =\frac{6q a^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} z^{4}}+\frac{10q a^{4}}{4\pi\varepsilon_{0} z^{6}}+\cdots.
Comparando com o termo quadrupolar dado no enunciado \dfrac{3Q}{4\pi\varepsilon_{0} z^{4}}, identificamos que o quadrupolo usado no enunciado está relacionado a q e a por
\frac{6 q a^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} z^{4}}=\frac{3 Q}{4\pi\varepsilon_{0} z^{4}}\quad\Rightarrow\quad Q=2 q a^{2}.
Aqui Q é a constante que o enunciado chamou de momento quadrupolar efetivo dessa configuração; deixei explícita a relação com as cargas e o semi-eixo a.

Passo 6

Agora escrevemos o próximo termo \dfrac{10 q a^{4}}{4\pi\varepsilon_{0} z^{6}} em função de Q. Usando q a^{2}=\dfrac{Q}{2} obtemos
\frac{10 q a^{4}}{4\pi\varepsilon_{0} z^{6}}=\frac{10 (q a^{2}) a^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} z^{6}} =\frac{10 \big(\dfrac{Q}{2}\big) a^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} z^{6}} =\frac{5 Q a^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} z^{6}}.
Portanto o termo seguinte E_{2} é exatamente esse termo de ordem 1/z^{6}.

Passo 7

Interpretação física curta e incentivo: o primeiro termo é o campo quadrupolar \propto 1/z^{4}. O próximo termo decai mais rápido, como \propto 1/z^{6}, e envolve a mesma constante Q multiplicada por a^{2} — isto reflete que o próximo termo pertence a uma ordem multipolar mais alta (envolvendo potências maiores da separação entre cargas). Você conseguiu! Ainda parece muita conta, mas a ideia é sempre expandir cada contribuição e cancelar termos que somam zero por simetria — depois é só identificar os coeficientes.

Resposta

E_{2}=\frac{5 Q a^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} z^{6}}

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