Questão 3: Na expressão aproximada para o campo elétrico de um quadrupolo elétrico, da expansão binomial, encontre o termo seguinte
da expressão do campo elétrico de um quadrupolo em pontos do eixo
. Em outras palavras, qual é o valor de
na expressão?
Passo 1
O enunciado pede para achar o termo seguinte
na expansão aproximada do campo elétrico de um quadrupolo em pontos do eixo
, dado que
Informações relevantes que vamos usar (assumindo a configuração padrão de quadrupolo linear usada em muitas provas): uma distribuição de três cargas no eixo
:
em
,
em
e
em
. Essa configuração tem carga total nula e momento dipolar nulo, e o primeiro termo não-nulo no campo distante é o termo quadrupolar que decai como
, já dado na expressão. Não vamos mudar o enunciado; vamos apenas expandir a expressão exata do campo dessa configuração para obter o próximo termo.
Passo 2
Escrevendo o campo exato no eixo
(para
, isto é, ponto de observação à direita das cargas) como soma dos campos das três cargas pontuais, lembrando que o campo de uma carga
em
no ponto
do eixo é
(apontando no sentido
se
):
Expliquei: cada termo vem diretamente da expressão do campo de uma carga pontual ao longo do eixo.
Passo 3
Fatorando
e escrevendo em termos do parâmetro pequeno
(pois vamos considerar
para a expansão), temos
Agora usamos a expansão binomial para
. A série de Taylor (binomial) para
é
onde
. Vou aplicar essa expansão a
.
Passo 4
Expandindo:
Somando essas duas expansões:
Então o conteúdo entre colchetes em
fica
Passo 5
Substituindo
e multiplicando pelo fator
, obtemos a série do campo:
Comparando com o termo quadrupolar dado no enunciado
, identificamos que o quadrupolo usado no enunciado está relacionado a
e
por
Aqui
é a constante que o enunciado chamou de momento quadrupolar efetivo dessa configuração; deixei explícita a relação com as cargas e o semi-eixo
.
Passo 6
Agora escrevemos o próximo termo
em função de
. Usando
obtemos
Portanto o termo seguinte
é exatamente esse termo de ordem
.
Passo 7
Interpretação física curta e incentivo: o primeiro termo é o campo quadrupolar
. O próximo termo decai mais rápido, como
, e envolve a mesma constante
multiplicada por
— isto reflete que o próximo termo pertence a uma ordem multipolar mais alta (envolvendo potências maiores da separação entre cargas). Você conseguiu! Ainda parece muita conta, mas a ideia é sempre expandir cada contribuição e cancelar termos que somam zero por simetria — depois é só identificar os coeficientes.