No instante t=0, uma partícula está na origem com velocidade de 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e ângulo 8=44.2^{\circ} com relação à horizontal. No instante t=2.1 \mathrm{~s}, a partícula está em x=131 m, y=61 m, com velocidade de 21.8 m / s e 8=57.1^{\circ}. Calcule:
Nota: O separador decimal reconhecido pelo sistema é o PONTO “.”, não utilize a vírgula!
O vetor velocidade média.
\square
O vetor aceleração média
\square

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas claras.
Dados (tomados do enunciado):
\begin{aligned} &\text{No instante }t=0:\quad \vec{r}_0=(0,0)\\ \mathrm{m},\quad v_0=30\\ \mathrm{m/s},\quad \theta_0=44.2^\circ.\\\ &\text{No instante }t=2{,}1\\ \mathrm{s}:\quad \vec{r}_1=(131,61)\\ \mathrm{m},\quad v_1=21{,}8\\ \mathrm{m/s},\quad \theta_1=57.1^\circ. \end{aligned}
O que o enunciado pede:
  1. O vetor velocidade média no intervalo [0,2{,}1\\ \mathrm{s}].
  2. O vetor aceleração média no mesmo intervalo.
Observação: todos os números e variáveis acima foram extraídos diretamente do enunciado.

Passo 2

Conceito e fórmula da velocidade média — aula rápida e prática:
  • A velocidade média vetorial \vec{v}_{\text{med}} é definida como a variação de posição dividida pelo intervalo de tempo:
\vec{v}_{\text{med}}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}=\frac{\vec{r}_1-\vec{r}_0}{t_1-t_0}.
  • Aqui \vec{r}_0 e \vec{r}_1 são vetores posição nos instantes inicial e final; \Delta t=t_1-t_0.
Aplicando aos dados:
\Delta\vec{r}=\vec{r}_1-\vec{r}_0=(131-0,\;61-0)=(131,\;61)\\ \mathrm{m},
\Delta t=2{,}1-0=2{,}1\\ \mathrm{s}.
Agora calculamos componente a componente:
v_{\text{med},x}=\frac{131}{2{,}1},\qquad v_{\text{med},y}=\frac{61}{2{,}1}.
Fazendo as divisões (mostrando as contas):
\frac{131}{2{,}1}=62{,}380952\ldots\approx62{,}381\\ \mathrm{m/s},
\frac{61}{2{,}1}=29{,}047619\ldots\approx29{,}048\\ \mathrm{m/s}.
Portanto, a velocidade média vetorial (antes de arredondar) é
\vec{v}_{\text{med}}=(62{,}381,\;29{,}048)\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Como obter as componentes das velocidades inicial e final — breve aula de trigonometria aplicada:
  • Quando conhecemos a intensidade da velocidade v e o ângulo \theta medido a partir da horizontal, as componentes cartesianas são
v_x = v\cos\theta,\qquad v_y=v\sin\theta.
  • Aqui \cos\theta e \sin\theta usam \theta em graus (ou em radianos, desde que a calculadora esteja ajustada). As componentes têm as mesmas unidades de v (aqui \mathrm{m/s}).
Vamos aplicar isso para \vec{v}_0 e \vec{v}_1.

Passo 4

Computando as componentes da velocidade inicial \vec{v}_0:
v_{0x}=v_0\cos\theta_0=30\cos(44{,}2^\circ),\qquad v_{0y}=30\sin(44{,}2^\circ).
Para obter \cos(44{,}2^\circ) e \sin(44{,}2^\circ) eu usei aproximações numéricas (pode obter na calculadora):
\cos(44{,}2^\circ)\approx0{,}716901,\qquad \sin(44{,}2^\circ)\approx0{,}697171.
Multiplicando:
v_{0x}=30\cdot0{,}716901\approx21{,}507\\ \mathrm{m/s},
v_{0y}=30\cdot0{,}697171\approx20{,}915\\ \mathrm{m/s}.
Portanto
\vec{v}_0\approx(21{,}507,\;20{,}915)\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Computando as componentes da velocidade final \vec{v}_1:
v_{1x}=v_1\cos\theta_1=21{,}8\cos(57{,}1^\circ),\qquad v_{1y}=21{,}8\sin(57{,}1^\circ).
Aproximações numéricas:
\cos(57{,}1^\circ)\approx0{,}543176,\qquad \sin(57{,}1^\circ)\approx0{,}839619.
Multiplicando:
v_{1x}=21{,}8\cdot0{,}543176\approx11{,}841\\ \mathrm{m/s},
v_{1y}=21{,}8\cdot0{,}839619\approx18{,}303\\ \mathrm{m/s}.
Portanto
\vec{v}_1\approx(11{,}841,\;18{,}303)\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Definição e fórmula da aceleração média — outra mini-aula:
  • A aceleração média vetorial \vec{a}_{\text{med}} é a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo:
\vec{a}_{\text{med}}=\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}=\frac{\vec{v}_1-\vec{v}_0}{t_1-t_0}.
  • Calculamos componente a componente: a_{\text{med},x}=(v_{1x}-v_{0x})/\Delta t e idem para y.
Usando os valores encontrados:
\Delta t=2{,}1\\ \mathrm{s},
v_{1x}-v_{0x}=11{,}841-21{,}507=-9{,}666\\ \mathrm{m/s},
v_{1y}-v_{0y}=18{,}303-20{,}915=-2{,}612\\ \mathrm{m/s}.
Dividindo por 2{,}1\\ \mathrm{s}:
a_{\text{med},x}=\frac{-9{,}666}{2{,}1}\approx-4{,}604\\ \mathrm{m/s^2},
a_{\text{med},y}=\frac{-2{,}612}{2{,}1}\approx-1{,}244\\ \mathrm{m/s^2}.
Logo
\vec{a}_{\text{med}}\approx(-4{,}604,\;-1{,}244)\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 7

Checagem rápida e interpretação (motivação): os sinais negativos nas componentes da aceleração mostram que a velocidade horizontal e vertical diminuíram entre t=0 e t=2{,}1\\ \mathrm{s}. Faz sentido porque a componente v_x caiu de cerca de 21{,}5 para 11{,}8\\ \mathrm{m/s} e v_y também diminuiu um pouco. Tudo consistente com os dados.

Resposta

\vec{v}_{\text{med}}=(62{,}381,\;29{,}048)\\ \mathrm{m/s}
\vec{a}_{\text{med}}=(-4{,}604,\;-1{,}244)\\ \mathrm{m/s^2}

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