Um barco transposta passageiros de uma margem de um rio para a outra margem, seguindo o percurso mais curto de 1.8 km entre as duas margens. Quando o motor do barco funciona na potência máxima, a travessia demora 15.6 mánutos, num dia em que o valor da velocidade da corrente no rio é
; calcule o valor da velocidade do barco (em metros por segundo), nesse dia,
Nota: O separador decimal reconhecido pelo sistema é o PONTO “.”, não utilize a vírgula!
Em relação à Terra
Em relação à água
Determine o tempo, em minutos, que o barco demorava a atravessar o mesmo rio, num dia em que o valor da velocidade da corrente fosse
.
Em relação à Terra
Em relação à água
Determine o tempo, em minutos, que o barco demorava a atravessar o mesmo rio, num dia em que o valor da velocidade da corrente fosse
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Distância entre margens (percurso mais curto):
. - Tempo da travessia com motor na potência máxima (dia em que a corrente vale
): . - Velocidade da corrente nesse dia:
. - Perguntas:
- Calcular a velocidade do barco em relação à Terra (ou seja, a velocidade resultante com que o barco atravessa o rio).
- Calcular a velocidade do barco em relação à água (ou seja, a velocidade do barco em relação ao fluido).
- Determinar o tempo (em minutos) que o barco demorava a atravessar o mesmo rio num dia em que a velocidade da corrente fosse
.
Observação do enunciado (usada depois): ao dizer “percurso mais curto entre as duas margens” entende-se que a travessia é perpendicular às margens (deslocamento direto de um lado ao outro, sem deriva na direção do curso do rio).
Passo 2
Modelo físico e variáveis — explicação didática, passo a passo:
- Vou dar um sistema de coordenadas simples: eixo
perpendicular às margens (através do rio) e eixo paralelo às margens (na direção da corrente). - Velocidade da corrente (relativa à Terra) aponta só em
: . - Velocidade do barco em relação à água tem magnitude
(é o que queremos para “em relação à água”) e componente em e : com . - A velocidade do barco em relação à Terra é a soma vetorial:
. - Para que o barco siga o percurso mais curto (travessia perpendicular, sem derivar para jusante), a componente em
da velocidade resultante deve ser zero: Isso significa que o piloto aponta o barco um pouco para montante para anular a corrente. - A componente resultante na direção
(a velocidade efetiva de atravessamento relativa à Terra) é então - O tempo para atravessar (quando segue o percurso mais curto) é a distância perpendicular dividida por essa componente:
- Observação prática útil: se quisermos a velocidade do barco em relação à Terra (módulo da velocidade resultante), no caso em que a componente
resultante é zero, essa velocidade é apenas a componente resultante:
Passo 3
Calcular a velocidade do barco em relação à Terra no dia dado (fácil direto):
- Usamos
. - Substituindo
e : - Simplificando a fração:
. - Em decimal:
Passo 4
Calcular a velocidade do barco em relação à água no dia em que
:
- Usamos a relação já deduzida:
porque rearranjando dá a fórmula acima. - Substituindo
e : - Colocando em denominador comum:
- Em decimal:
Passo 5
Interpretação e arredondamentos recomendados para a prova:
- Velocidade em relação à Terra (resultado direto da travessia):
. - Velocidade em relação à água (velocidade do motor do barco no fluido):
. - Vou manter três casas decimais, que é um arredondamento apropriado para provas.
Passo 6
Determinar o tempo de travessia quando a corrente vale
, assumindo que a velocidade do barco em relação à água continua sendo a mesma (motor na mesma potência):
- Primeiro a componente de atravessamento (em
) agora vale - Usando a expressão fracionária exata para
obtida antes: E . - Subtraindo:
Logo - O tempo em segundos para atravessar com essa componente é
- Em decimal:
- Convertendo para minutos:
- Arredondando a dois decimais (ou três conforme desejado):
(vou apresentar com três casas decimais como acima ).
Passo 7
Resumo final (valores praticáveis para a prova, com três casas decimais):
-
. -
. - Tempo com corrente
: .
Resposta
Em relação à Terra:
Em relação à água:
Tempo com corrente :
Em relação à água:
Tempo com corrente