Um barco transposta passageiros de uma margem de um rio para a outra margem, seguindo o percurso mais curto de 1.8 km entre as duas margens. Quando o motor do barco funciona na potência máxima, a travessia demora 15.6 mánutos, num dia em que o valor da velocidade da corrente no rio é 1.3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; calcule o valor da velocidade do barco (em metros por segundo), nesse dia,
Nota: O separador decimal reconhecido pelo sistema é o PONTO “.”, não utilize a vírgula!
Em relação à Terra
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Em relação à água
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Determine o tempo, em minutos, que o barco demorava a atravessar o mesmo rio, num dia em que o valor da velocidade da corrente fosse 0.6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Distância entre margens (percurso mais curto): \displaystyle 1{,}8\\ \text{km} = 1800\\ \text{m}.
  • Tempo da travessia com motor na potência máxima (dia em que a corrente vale 1{,}3\\ \mathrm{m/s}): \displaystyle 15{,}6\\ \text{min} = 15{,}6\cdot 60 = 936\\ \text{s}.
  • Velocidade da corrente nesse dia: \displaystyle v_{c1}=1{,}3\\ \mathrm{m/s}.
  • Perguntas:
    1. Calcular a velocidade do barco em relação à Terra (ou seja, a velocidade resultante com que o barco atravessa o rio).
    2. Calcular a velocidade do barco em relação à água (ou seja, a velocidade do barco em relação ao fluido).
    3. Determinar o tempo (em minutos) que o barco demorava a atravessar o mesmo rio num dia em que a velocidade da corrente fosse \displaystyle v_{c2}=0{,}6\\ \mathrm{m/s}.
Observação do enunciado (usada depois): ao dizer “percurso mais curto entre as duas margens” entende-se que a travessia é perpendicular às margens (deslocamento direto de um lado ao outro, sem deriva na direção do curso do rio).

Passo 2

Modelo físico e variáveis — explicação didática, passo a passo:
  • Vou dar um sistema de coordenadas simples: eixo x perpendicular às margens (através do rio) e eixo y paralelo às margens (na direção da corrente).
  • Velocidade da corrente (relativa à Terra) aponta só em y: \displaystyle \vec{v}_c=(0,\;v_c).
  • Velocidade do barco em relação à água tem magnitude \displaystyle v (é o que queremos para “em relação à água”) e componente em x e y: \displaystyle \vec{v}_{b/w}=(v_x,\;v_y) com \displaystyle v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}.
  • A velocidade do barco em relação à Terra é a soma vetorial: \displaystyle \vec{v}_{b/T}=\vec{v}_{b/w}+\vec{v}_c=(v_x,\;v_y+v_c).
  • Para que o barco siga o percurso mais curto (travessia perpendicular, sem derivar para jusante), a componente em y da velocidade resultante deve ser zero: v_y+v_c=0 \quad\Rightarrow\quad v_y=-v_c.Isso significa que o piloto aponta o barco um pouco para montante para anular a corrente.
  • A componente resultante na direção x (a velocidade efetiva de atravessamento relativa à Terra) é então v_{x,\text{resultante}}=v_x=\sqrt{v^2-v_y^2}=\sqrt{v^2-v_c^2}.
  • O tempo para atravessar (quando segue o percurso mais curto) é a distância perpendicular dividida por essa componente: t=\frac{d}{v_{x,\text{resultante}}}=\frac{d}{\sqrt{v^2-v_c^2}}.
  • Observação prática útil: se quisermos a velocidade do barco em relação à Terra (módulo da velocidade resultante), no caso em que a componente y resultante é zero, essa velocidade é apenas a componente x resultante: v_{\text{Terra}}=\frac{d}{t}.

Passo 3

Calcular a velocidade do barco em relação à Terra no dia dado (fácil direto):
  • Usamos \displaystyle v_{\text{Terra}}=\frac{d}{t}.
  • Substituindo \displaystyle d=1800\\ \text{m} e \displaystyle t=936\\ \text{s}: v_{\text{Terra}}=\frac{1800}{936}.
  • Simplificando a fração: \displaystyle \frac{1800}{936}=\frac{150}{78}=\frac{75}{39}=\frac{25}{13}.
  • Em decimal: v_{\text{Terra}}=\frac{25}{13}\approx 1{,}923076923\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a velocidade do barco em relação à água no dia em que v_c=1{,}3\\ \mathrm{m/s}:
  • Usamos a relação já deduzida: v=\sqrt{v_{\text{Terra}}^{2}+v_c^{2}}porque v_{\text{Terra}}=v_x=\sqrt{v^{2}-v_c^{2}} rearranjando dá a fórmula acima.
  • Substituindo \displaystyle v_{\text{Terra}}=\frac{25}{13} e \displaystyle v_c=1{,}3: v=\sqrt{\left(\frac{25}{13}\right)^{2}+(1{,}3)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{169}+\frac{169}{100}}.
  • Colocando em denominador comum: v=\sqrt{\frac{625\cdot 100 + 169\cdot 169}{169\cdot 100}}=\sqrt{\frac{91061}{16900}}.
  • Em decimal: v\approx 2{,}32128465\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Interpretação e arredondamentos recomendados para a prova:
  • Velocidade em relação à Terra (resultado direto da travessia): \displaystyle v_{\text{Terra}}=\frac{25}{13}\approx 1{,}923\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade em relação à água (velocidade do motor do barco no fluido): \displaystyle v\approx 2{,}321\\ \mathrm{m/s}.
  • Vou manter três casas decimais, que é um arredondamento apropriado para provas.

Passo 6

Determinar o tempo de travessia quando a corrente vale \displaystyle v_{c2}=0{,}6\\ \mathrm{m/s}, assumindo que a velocidade do barco em relação à água continua sendo a mesma (motor na mesma potência):
  • Primeiro a componente de atravessamento (em x) agora vale v_{x}'=\sqrt{v^{2}-v_{c2}^{2}}.
  • Usando a expressão fracionária exata para v^{2} obtida antes: v^{2}=\frac{91061}{16900}.E \displaystyle v_{c2}^{2}=(0{,}6)^{2}=0{,}36=\frac{9}{25}=\frac{6084}{16900}.
  • Subtraindo: v_{x}'^{2}=\frac{91061}{16900}-\frac{6084}{16900}=\frac{84977}{16900}.Logo v_{x}'=\frac{\sqrt{84977}}{130}\approx 2{,}242816\\ \mathrm{m/s}.
  • O tempo em segundos para atravessar com essa componente é t'=\frac{d}{v_{x}'}=\frac{1800}{v_{x}'}=\frac{1800\cdot 130}{\sqrt{84977}}=\frac{234000}{\sqrt{84977}}\\ \text{s}.
  • Em decimal: t'\approx 802{,}410\\ \text{s}.
  • Convertendo para minutos: t'_{\text{min}}=\frac{802{,}410}{60}\approx 13{,}3735\\ \text{min}.
  • Arredondando a dois decimais (ou três conforme desejado): \displaystyle t'_{\text{min}}\approx 13{,}374\\ \text{min} (vou apresentar com três casas decimais como acima \,13{,}374\\ \text{min}).

Passo 7

Resumo final (valores praticáveis para a prova, com três casas decimais):
  • \displaystyle v_{\text{Terra}}\approx 1{,}923\\ \mathrm{m/s}.
  • \displaystyle v_{\text{água}}\approx 2{,}321\\ \mathrm{m/s}á.
  • Tempo com corrente \displaystyle 0{,}6\\ \mathrm{m/s}: \displaystyle \approx 13{,}374\\ \text{min}.

Resposta

Em relação à Terra: 1{,}923\\ \mathrm{m/s}
Em relação à água: 2{,}321\\ \mathrm{m/s}
Tempo com corrente 0{,}6\\ \mathrm{m/s}: 13{,}374\\ \text{min}

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