Em um instante de
segundos, uma partícula se move a uma distância de
metros a partir do seu ponto de partida, em que
.
a. Encontre a velocidade média entre
e
para os seguintes valores de
e
.
b. Use a resposta da parte (a) para estimar a velocidade instantânea da partícula no instante
.
c. Utilize o pensamento algébrico para mostrar que o resultado da parte (b) está correto.
d. Encontrar uma fórmula para a velocidade instantânea da partícula em qualquer instante
. (R:
a. Encontre a velocidade média entre
b. Use a resposta da parte (a) para estimar a velocidade instantânea da partícula no instante
c. Utilize o pensamento algébrico para mostrar que o resultado da parte (b) está correto.
d. Encontrar uma fórmula para a velocidade instantânea da partícula em qualquer instante
Passo 1
A função que descreve a posição é s(t)=
. O conteúdo envolve: definição de velocidade média, o conceito de limite para obter velocidade instantânea e a derivada de potências. Vamos usar essas ideias para as quatro partes.
Passo 2
A velocidade média entre t=1 e t=1+h é dada por
Passo 3
Agora substituímos h pelos valores pedidos e aproximamos numericamente:
Para h=0{,}1:
Para h=0{,}1:
Passo 4
Como h fica cada vez menor, os valores de vₘ(h) aproximam-se de -2. Logo, estimamos a velocidade instantânea em t=1 por v(1)≈-2 m/s.
Passo 5
Para confirmar algébrica
mente, note que:
Fazendo h→0, obtemos v(1)=-(2+0)/(1+0)^2=-2, confirmando a estimativa.
Passo 6
Para qualquer t aplicamos a regra do expoente em s(t)=t^{-2}:
Resposta
a) vₘ(0{,}1)≈-1{,}7355 m/s, vₘ(0{,}01)≈-1{,}9704 m/s, vₘ(0{,}001)≈-1{,}9960 m/s
b) v(1)≈-2 m/s
c) Limite algébrico dá v(1)=-2 m/s
d) v(t)=-2/t^3
b) v(1)≈-2 m/s
c) Limite algébrico dá v(1)=-2 m/s
d) v(t)=-2/t^3