Em um instante de t segundos, uma partícula se move a uma distância de s metros a partir do seu ponto de partida, em que s(t)=1x^2.
a. Encontre a velocidade média entre t=1 e t=1+h para os seguintes valores de h: h=0,1, h=0,01 e h=0,001.
b. Use a resposta da parte (a) para estimar a velocidade instantânea da partícula no instante t=1.
c. Utilize o pensamento algébrico para mostrar que o resultado da parte (b) está correto.
d. Encontrar uma fórmula para a velocidade instantânea da partícula em qualquer instante t. (R: v(t)=-2 / t^3)

Passo 1

A função que descreve a posição é s(t)= 1t^2. O conteúdo envolve: definição de velocidade média, o conceito de limite para obter velocidade instantânea e a derivada de potências. Vamos usar essas ideias para as quatro partes.

Passo 2

A velocidade média entre t=1 e t=1+h é dada por
vm(h)=s(1+h)-s(1)(1+h)-1=1(1+h)^2-1h

Passo 3

Agora substituímos h pelos valores pedidos e aproximamos numericamente:
Para h=0{,}1:
vm(0,1)=1/(1,1)^2-10,1=0,826446-10,1approx-1,7355\nPara h=0{,}01:
vm(0,01)=1/(1,01)^2-10,01=0,980296-10,01approx-1,9704\nPara h=0{,}001:
vm(0,001)=1/(1,001)^2-10,001=0,998004-10,001approx-1,9960

Passo 4

Como h fica cada vez menor, os valores de vₘ(h) aproximam-se de -2. Logo, estimamos a velocidade instantânea em t=1 por v(1)≈-2 m/s.

Passo 5

Para confirmar algébrica
mente, note que:
vm(h)=1-(1+h)^2h(1+h)^2=-2h-h^2h(1+h)^2= -2+h(1+h)^2
Fazendo h→0, obtemos v(1)=-(2+0)/(1+0)^2=-2, confirmando a estimativa.

Passo 6

Para qualquer t aplicamos a regra do expoente em s(t)=t^{-2}:
v(t)=s'(t)=-2,t^-3=-2t^3

Resposta

a) vₘ(0{,}1)≈-1{,}7355 m/s, vₘ(0{,}01)≈-1{,}9704 m/s, vₘ(0{,}001)≈-1{,}9960 m/s
b) v(1)≈-2 m/s
c) Limite algébrico dá v(1)=-2 m/s
d) v(t)=-2/t^3

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