Resolva as equações:
y^prime-4x y=x^5 e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
y' - 4x y = x^5 e^x
Esta é uma Equação Diferencial Linear de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do Fator Integrante. Basicamente, isso ajuda a simplificar a equação para que possamos encontrar a solução de forma mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação na forma padrão da equação linear:
y' + P(x) y = Q(x)
No nosso caso, comparando com a equação dada:
  • $ P(x) = -\frac{4}{x} $
  • $ Q(x) = x^{5} e^{x} $

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o Fator Integrante ($ \mu(x) $). Ele é calculado usando a fórmula:
mu(x)
Vamos calcular:
mu(x) = e^integral P(x) , dx

Passo 4

Em seguida, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) $:
mu(x)
Simplificando isso:
x^-4 y' - 4x x^-4 y = x^-4 x^5 e^x

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora representa a derivada do produto $ \mu(x) y $. Assim, podemos reescrever a equação como:
mu(x) y

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
x
Isso simplifica para:
integral ddx (x^-4 y) , dx = integral x e^x , dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver a integral $ \int x e^{x} , dx $ usando integração por partes. Se você não lembra como fazer isso, basicamente escolhemos partes da função para derivar e integrar.
Vamos deixar isso assim por enquanto:
integral x e^x , dx

Passo 8

Substituímos de volta na equação:
x^-4 y = (x - 1) e^x + C
Agora, multiplicamos ambos os lados por $ x^{4} $ para isolar $ y $:
x^4

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = x^4 (x - 1) e^x + C x^4
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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