Resolva as equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Esta é uma Equação Diferencial Linear de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do Fator Integrante. Basicamente, isso ajuda a simplificar a equação para que possamos encontrar a solução de forma mais fácil.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação na forma padrão da equação linear:
No nosso caso, comparando com a equação dada:
- $ P(x) = -\frac{4}{x} $
- $ Q(x) = x^{5} e^{x} $
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o Fator Integrante ($ \mu(x) $). Ele é calculado usando a fórmula:
Vamos calcular:
Passo 4
Em seguida, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) $:
Simplificando isso:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora representa a derivada do produto $ \mu(x) y $. Assim, podemos reescrever a equação como:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
Isso simplifica para:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver a integral $ \int x e^{x} , dx $ usando integração por partes. Se você não lembra como fazer isso, basicamente escolhemos partes da função para derivar e integrar.
Vamos deixar isso assim por enquanto:
Passo 8
Substituímos de volta na equação:
Agora, multiplicamos ambos os lados por $ x^{4} $ para isolar $ y $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.