No instante t=0 o ponto P está em (-2,0) e o ponto Q em (0,0). A partir desse instante, Q move-se para cima com velocidade de 1 unidade por segundo e P move-se para a direita com velocidade de 2 unidades por segundo. Determine a menor distância entre P e Q e o instante em que isso ocorre.

Passo 1

A questão quer saber, num movimento retilíneo de dois pontos P e Q, qual a menor distância entre eles e quando isso ocorre. O conteúdo aqui é cinemática vetorial (posição em função do tempo) e otimização de uma função (distância) em uma variável.

Passo 2

Vamos primeiro escrever as coordenadas de cada ponto em função do tempo. P parte de (-2,0) e vai para a direita com velocidade 2, então:
xP(t) = -2 + 2t, yP(t) = 0
Q parte de (0,0) e vai para cima com velocidade 1, então:
xQ(t) = 0, yQ(t) = t

Passo 3

Agora montamos a expressão da distância d(t) entre P e Q. Em geral, para pontos (x_P,y_P) e (x_Q,y_Q):
d(t) = raiz(xP - xQ)^2 + (yP - yQ)^2
Substituindo nossas funções de posição:
d(t) = raiz(-2 + 2t - 0)^2 + (0 - t)^2 = raiz(2t - 2)^2 + t^2 = raiz5t^2 - 8t + 4

Passo 4

Para achar o valor de t que minimiza d(t), é mais fácil minimizar o quadrado da distância, f(t)=5t^2-8t+4. Derivando e igualando a zero:
f'(t) = 10t - 8 = 0 Longrightarrow t = 810 = 0,8,s

Passo 5

Finalmente, calculamos a distância mínima substituindo t=0{,}8 em d(t):
dmin = raiz5(0,8)^2 - 8(0,8) + 4 = raiz0,8 = 2raiz5 = 2raiz55

Resposta

A menor distância é dfrac2raiz55 unidades, ocorrendo no instante t = 0,8 segundos.

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