No instante
o ponto
está em
e o ponto
em
. A partir desse instante,
move-se para cima com velocidade de 1 unidade por segundo e
move-se para a direita com velocidade de 2 unidades por segundo. Determine a menor distância entre
e
e o instante em que isso ocorre.
Passo 1
A questão quer saber, num movimento retilíneo de dois pontos P e Q, qual a menor distância entre eles e quando isso ocorre. O conteúdo aqui é cinemática vetorial (posição em função do tempo) e otimização de uma função (distância) em uma variável.
Passo 2
Vamos primeiro escrever as coordenadas de cada ponto em função do tempo. P parte de (-2,0) e vai para a direita com velocidade 2, então:
Q parte de (0,0) e vai para cima com velocidade 1, então:
Passo 3
Agora montamos a expressão da distância d(t) entre P e Q. Em geral, para pontos (x_P,y_P) e (x_Q,y_Q):
Substituindo nossas funções de posição:
Passo 4
Para achar o valor de t que minimiza d(t), é mais fácil minimizar o quadrado da distância, f(t)=5t^2-8t+4. Derivando e igualando a zero:
Passo 5
Finalmente, calculamos a distância mínima substituindo t=0{,}8 em d(t):
Resposta
A menor distância é
unidades, ocorrendo no instante
segundos.