Calcule os limites abaixo:
lim x -infty(3 x+23 x+1)^2 x

Passo 1

Nesse exercício a gente precisa calcular limxto -infty((3x+2)/(3x+1))^2x. É uma forma indeterminada (1)^infty (na verdade (1)^-infty), então vamos usar o truque de transformar em exponencial via logaritmo.

Passo 2

Primeiro, note que podemos reescrever a base como
3x+23x+1 = 1 + 13x+1
Isso nos permite usar a identidade
limxto -infty l(tfrac3x+23x+1r)^2x = expl(limxto -infty 2xlnl(tfrac3x+23x+1r)r)

Passo 3

Agora, dentro do limite do expoente, temos
lnl(tfrac3x+23x+1r) = lnl(1 + tfrac13x+1r)

Passo 4

Para xto -infty, o argumento de ln(1+u) é pequeno, então usamos ln(1+u)approx u. Logo:
limxto -infty 2xlnl(tfrac3x+23x+1r) = limxto -infty 2x3x+1 = 23

Passo 5

Como consequência, o limite original é
expl(tfrac23r)

Resposta

e^2/3

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