Calcule o limite vetorial:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A variável que se aproxima de 1 é
. - Os parâmetros
e são constantes (o enunciado não deu valores; iremos tratar o caso usual em que e são números reais ou inteiros; é necessário que para que a segunda componente faça sentido na forma limite que vamos obter). - Precisamos calcular o limite componente a componente e reunir o resultado em um vetor.
Passo 2
Ferramentas e ideias que vamos usar (aulas rápidas):
- Limite fundamental da trigonometria:
Isto significa que, quando
é muito pequeno,
se comporta como
. Na prática, se
e
quando
, então
e assim podemos trocar
por
no limite (até multiplicar por fatores auxiliares).
- Fatoração de
(para inteiro positivo):
Como
, a soma
. Portanto
Essa identidade também tem um paralelo via derivada: a derivada de
em
é
, então
quando
. Isso vale mais geralmente para expoentes reais
(desde que a função
esteja bem definida perto de
).
- Regra prática para quotientes que envolvem
: se e ,
desde que o segundo limite exista. Usaremos isso nas duas primeiras componentes.
Passo 3
Cálculo da primeira componente:
Note a fatoração
Então podemos escrever
Defina
. Quando
tem-se
. Usando a ideia do Passo 2,
Cortando
(válido para
, e depois avaliando o limite),
Portanto a primeira componente tende para
.
Passo 4
Cálculo da segunda componente:
Aplicando a mesma estratégia: escreva
e
. Ambos tendem a
quando
. Pelo argumento do Passo 2,
Agora usamos que
o que decorre da fatoração para inteiros ou, mais geral, do cálculo do quociente diferencial (derivada de
em
é
). Então
desde que
. Portanto a segunda componente tende para
.
Passo 5
Cálculo da terceira componente:
Aqui é direto: a função
é contínua, então o limite vale o valor na própria
:
Passo 6
Juntando os resultados das três componentes obtemos o limite vetorial:
com a observação necessária de que
(para que a segunda componente esteja bem definida no limite final).