Calcule o limite vetorial:
\lim _{t \rightarrow 1}\left\langle\frac{\operatorname{sen}\left(t^{3}-1\right)}{t^{2}-1}, \frac{\operatorname{sen}\left(t^{n}-1\right)}{t^{m}-1},-t^{6}\right\rangle

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{t\to 1}\left\langle\frac{\operatorname{sen}\left(t^{3}-1\right)}{t^{2}-1},\\ \frac{\operatorname{sen}\left(t^{n}-1\right)}{t^{m}-1},\\\ -t^{6}\right\rangle.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável que se aproxima de 1 é t.
  • Os parâmetros n e m são constantes (o enunciado não deu valores; iremos tratar o caso usual em que n e m são números reais ou inteiros; é necessário que m\neq 0 para que a segunda componente faça sentido na forma limite que vamos obter).
  • Precisamos calcular o limite componente a componente e reunir o resultado em um vetor.

Passo 2

Ferramentas e ideias que vamos usar (aulas rápidas):
  1. Limite fundamental da trigonometria:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.
Isto significa que, quando x é muito pequeno, \operatorname{sen} x se comporta como x. Na prática, se x=x(t) e x(t)\to 0 quando t\to 1, então
\lim_{t\to 1}\frac{\operatorname{sen}(x(t))}{x(t)}=1,
e assim podemos trocar \operatorname{sen}(x(t)) por x(t) no limite (até multiplicar por fatores auxiliares).
  1. Fatoração de t^k-1 (para k inteiro positivo):
t^k-1=(t-1)\sum_{j=0}^{k-1}t^{j}.
Como t\to 1, a soma \sum_{j=0}^{k-1}t^{j}\to k. Portanto
\lim_{t\to 1}\frac{t^k-1}{t-1}=k.
Essa identidade também tem um paralelo via derivada: a derivada de t^k em t=1 é k, então \dfrac{t^k-1}{t-1}\to k quando t\to 1. Isso vale mais geralmente para expoentes reais k (desde que a função t^k esteja bem definida perto de 1).
  1. Regra prática para quotientes que envolvem \operatorname{sen}: se x(t)\to 0 e y(t)\to 0,
\lim_{t\to 1}\frac{\operatorname{sen}(x(t))}{y(t)}=\lim_{t\to 1}\frac{\operatorname{sen}(x(t))}{x(t)}\cdot\frac{x(t)}{y(t)}=1\cdot\lim_{t\to 1}\frac{x(t)}{y(t)},
desde que o segundo limite exista. Usaremos isso nas duas primeiras componentes.

Passo 3

Cálculo da primeira componente:
\frac{\operatorname{sen}\left(t^{3}-1\right)}{t^{2}-1}.
Note a fatoração
t^{3}-1=(t-1)(t^{2}+t+1),\qquad t^{2}-1=(t-1)(t+1).
Então podemos escrever
\frac{\operatorname{sen}\left(t^{3}-1\right)}{t^{2}-1} = \frac{\operatorname{sen}\big((t-1)(t^{2}+t+1)\big)}{(t-1)(t+1)}.
Defina x(t)=(t-1)(t^{2}+t+1). Quando t\to 1 tem-se x(t)\to 0. Usando a ideia do Passo 2,
\lim_{t\to 1}\frac{\operatorname{sen}\left(t^{3}-1\right)}{t^{2}-1} = \lim_{t\to 1}\frac{\operatorname{sen}(x(t))}{x(t)}\cdot\frac{x(t)}{(t-1)(t+1)} = 1\cdot\lim_{t\to 1}\frac{(t-1)(t^{2}+t+1)}{(t-1)(t+1)}.
Cortando (t-1) (válido para t\neq 1, e depois avaliando o limite),
\lim_{t\to 1}\frac{t^{2}+t+1}{t+1}=\frac{1^{2}+1+1}{1+1}=\frac{3}{2}.
Portanto a primeira componente tende para \dfrac{3}{2}.

Passo 4

Cálculo da segunda componente:
\frac{\operatorname{sen}\left(t^{n}-1\right)}{t^{m}-1}.
Aplicando a mesma estratégia: escreva x(t)=t^{n}-1 e y(t)=t^{m}-1. Ambos tendem a 0 quando t\to 1. Pelo argumento do Passo 2,
\lim_{t\to 1}\frac{\operatorname{sen}\left(t^{n}-1\right)}{t^{m}-1} = \lim_{t\to 1}\frac{\operatorname{sen}(x(t))}{x(t)}\cdot\frac{x(t)}{y(t)} = 1\cdot\lim_{t\to 1}\frac{t^{n}-1}{t^{m}-1}.
Agora usamos que
\lim_{t\to 1}\frac{t^{n}-1}{t-1}=n\qquad\text{e}\qquad\lim_{t\to 1}\frac{t^{m}-1}{t-1}=m,
o que decorre da fatoração para inteiros ou, mais geral, do cálculo do quociente diferencial (derivada de t^k em 1 é k). Então
\lim_{t\to 1}\frac{t^{n}-1}{t^{m}-1} = \lim_{t\to 1}\frac{t^{n}-1}{t-1}\cdot\frac{t-1}{t^{m}-1} = \frac{n}{m},
desde que m\neq 0. Portanto a segunda componente tende para \dfrac{n}{m}.

Passo 5

Cálculo da terceira componente:
-t^{6}.
Aqui é direto: a função -t^{6} é contínua, então o limite vale o valor na própria t=1:
\lim_{t\to 1}-t^{6}=-1^{6}\cdot(-1)=-1.

Passo 6

Juntando os resultados das três componentes obtemos o limite vetorial:
\lim_{t\to 1}\left\langle\frac{\operatorname{sen}\left(t^{3}-1\right)}{t^{2}-1},\\ \frac{\operatorname{sen}\left(t^{n}-1\right)}{t^{m}-1},\\\ -t^{6}\right\rangle = \left\langle\frac{3}{2},\\ \frac{n}{m},\\\ -1\right\rangle,
com a observação necessária de que m\neq 0 (para que a segunda componente esteja bem definida no limite final).

Resposta

\displaystyle \left\langle\frac{3}{2},\frac{n}{m},-1\right\rangle (para m\neq 0)

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