No instante t=0, o vetor posição de uma partícula de 2,0 kg em relação à origem é r=(4,0 m) i-(2,0 m) j. Sua velocidade é dada por v=(-6,0 t^2 m / s) i para t >= 0 em segundos. Qual é o momento angular L da partícula em relação à origem, em termos dos vetores unitários e para t>0?

Passo 1

O exercício diz que, em t=0, uma partícula de massa m=2,0 kg está em
vec r(0)=4,0, m,hatimath - 2,0, m,hatjmath
e sua velocidade para t\ge0 é
vec v(t) = (-6,0,t^2),m/s,hatimath
Queremos o momento angular em relação à origem, para t>0.
Conteúdo da matéria: momento angular , onde , e produto vetorial.
O que vamos precisar:
  1. A posição pra t>0 (integrar e usar condição inicial).
  2. Aplicar via determinante (produto vetorial).

Passo 2

Calcular vx(t)=-6,t^2Longrightarrow rx(t)=integral -6,t^2,dt = -2,t^3 + Cx :
Como ry(t)=integral 0,dt + Cy = Cy, , integramos componente a componente:
vec r(t) = l(4 - 2,t^3r),hatimath ;-; 2,hatjmath
Pela condição , temos , logo .
Não há componente em j na velocidade, então e
com , logo .
Assim

Passo 3

Agora vec r=(rx,ry,0), vec v=(vx,0,0) .
Escrevendo em componentes 3D (com vec rtimesvec v = hatimath & hatjmath & hat k rx & ry & 0 vx & 0 & 0 =l(rxcdot0 - rycdot vxr),hat k =-;ry,vx,hat k ):
vec rtimesvec v = -(-2),(-6,t^2),hat k = -12,t^2,hat k
O produto vetorial dá só componente em vec L = 2;l(-12,t^2,hat kr) = -24,t^2,hat k :
Substituindo e :
Multiplicando por :

Resposta

boxedvec L(t) = -24,t^2;hat k l(kg,m^2/sr), t>0

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