Exercício 39 (3 pontos). Considere
. Determine o volume do sólido obtido ao rotacionarmos a região limitada no plano
, a qual é delimitada pelas curvas
e
, em torno:
(2) do eixo
.
(2) do eixo
Passo 1
Estamos buscando o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo y a região limitada por y = a cosh(x/a), y = 0, x = −a e x = a. O conteúdo é volume por método das cascas cilíndricas, e vamos precisar usar a fórmula
onde as cascas são formadas por retângulos verticais.
Passo 2
Para usar o método das cascas, escolhemos um retângulo vertical a uma abscissa x, com altura igual a y−0 = a cosh(x/a) e raio igual à distância até o eixo y, isto é |x|. Como a região é simétrica em relação a x=0, consideramos x ≥ 0 e depois dobramos. Assim a fórmula vira
Passo 3
Para calcular a integral, fazemos a mudança de variável t = x/a, logo x = a t e dx = a dt. Os limites x=0→a viram t=0→1 e
Passo 4
Agora integramos por partes em t:
“escolhemos u = t e dv = cosh(t) dt” leva a du = dt e v = sinh(t). Então
“escolhemos u = t e dv = cosh(t) dt” leva a du = dt e v = sinh(t). Então
Aplicando de 0 a 1:
Passo 5
Substituindo de volta em V, temos