Exercício 39 (3 pontos). Considere a>0. Determine o volume do sólido obtido ao rotacionarmos a região limitada no plano R subset R^2, a qual é delimitada pelas curvas y= a cosh (xa), y=0, x=a e x=-a, em torno:
(2) do eixo y.

Passo 1

Estamos buscando o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo y a região limitada por y = a cosh(x/a), y = 0, x = −a e x = a. O conteúdo é volume por método das cascas cilíndricas, e vamos precisar usar a fórmula
V = 2pi integralx1^x2 (raio)cdot(a
onde as cascas são formadas por retângulos verticais.

Passo 2

Para usar o método das cascas, escolhemos um retângulo vertical a uma abscissa x, com altura igual a y−0 = a cosh(x/a) e raio igual à distância até o eixo y, isto é |x|. Como a região é simétrica em relação a x=0, consideramos x ≥ 0 e depois dobramos. Assim a fórmula vira
V = 2 cdot 2pi integral0^a xl(acosh(x/a)r),dx = 4pi a integral0^a xcoshl(tfracxar),dx

Passo 3

Para calcular a integral, fazemos a mudança de variável t = x/a, logo x = a t e dx = a dt. Os limites x=0→a viram t=0→1 e
integral0^a xcoshl(tfracxar),dx = integral0^1 (a t)cosh(t),a,dt = a^2integral0^1 tcosh(t),dt

Passo 4

Agora integramos por partes em t:
“escolhemos u = t e dv = cosh(t) dt” leva a du = dt e v = sinh(t). Então
integral tcosh(t),dt = tsinh(t) - integralsinh(t),dt = tsinh(t) - cosh(t) + C
Aplicando de 0 a 1:
integral0^1 tcosh(t),dt = l[ tsinh(t) - cosh(t) r]0^1 = (1cdotsinh(1) - cosh(1)) - (0 - 1) = sinh(1) - cosh(1) + 1

Passo 5

Substituindo de volta em V, temos
V = 4pi a l(a^2(sinh(1) - cosh(1) + 1)r) = 4pi a^3l(sinh(1) - cosh(1) + 1r)

Resposta

V = 4pi a^3l(sinh(1) - cosh(1) + 1r).

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