Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Maranhão
Departamento de Física
Disciplina: Física 1
Primeira Avaliação
Turma: Licenciatura em Física
Prof. Samir Coutinho
Na expressão seguinte x=k(v^n+12a)+(v^2a)^m, x representa uma comprimento ou distância ([L]), v uma velocidade ([L]/[T]), a aceleração ([L]/[T] ^2 ) e k representa uma constante adimensional. Qual deve ser o valor do expoente n e m para que a expressão seja fisicamente correta?

Passo 1

Claro! Vamos analisar o exercício juntos. A questão nos dá uma expressão matemática que relaciona comprimento ou distância ( x) com velocidade ( v), aceleração ( a) e uma constante adimensional ( k). Nosso objetivo é encontrar os valores dos expoentes n e m que fazem com que essa expressão seja fisicamente correta, ou seja, que as unidades de medida de cada termo coincidam com as de comprimento [L]. Para isso, vamos usar a dimensional análise, que ajuda a verificar se as unidades nas equações estão consistentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as unidades de cada variável na expressão:
  • Comprimento ou distância ( x): [L]
  • Velocidade ( v): [L]/[T]
  • Aceleração ( a): [L]/[T]^2
  • Constante k: adimensional, ou seja, não possui unidades.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão dada:
x = k(v^n+12a) + (v^2a)^m
Queremos que cada termo à direita da igualdade tenha as mesmas unidades que x, ou seja, [L].

Passo 4

Vamos analisar cada termo separadamente para encontrar as relações dimensionais e assim determinar os valores de n e m.
Primeiro Termo:
k(v^n+12a)
Como k é adimensional, as unidades deste termo dependem apenas de v^n+12a.
Substituindo as unidades:
[L]/[T]^n+12[L]/[T]^2 = [L]^(n+12) cdot [T]^-(n+12) cdot [L]^-1 cdot [T]^2 = [L]^n+12 -1 cdot [T]^2 - (n+12)
Para que este termo tenha unidades de [L], as potências de [L] e [T] devem ser iguais a 1 e 0, respectivamente.
Portanto:
n + 12 - 1 = 1 (para [L])
2 - (n + 12) = 0 (para [T])
Resolvendo:
n - 12 = 1 implies n = 32
2 - n - 12 = 0 implies n = 32
Segundo Termo:
(v^2a)^m
Substituindo as unidades:
([L]^2/[T]^2[L]/[T]^2)^m = ([L]^2 cdot [T]^-2 cdot [L]^-1 cdot [T]^2)^m = [L]^1 cdot [T]^0
Para que este termo tenha unidades de [L], não precisamos ajustar m, pois ele já está correto. Portanto, qualquer valor de m que mantenha a consistência dimensional é válido. Porém, para que ambos os termos da expressão original tenham a mesma dimensão, m deve ser tal que [L]^1 permaneça, o que já ocorre naturalmente.

Passo 5

Concluímos que o expoente n deve ser 32 para que o primeiro termo tenha as unidades corretas de comprimento. Quanto ao expoente m, já que o segundo termo naturalmente resulta em [L]^1, ele pode ser qualquer valor, mas geralmente consideramos m = 1 para simplificar a expressão.

Resposta

Os expoentes devem ser n = 32 e m = 1 para que a expressão seja fisicamente correta.

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