Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Maranhão
Departamento de Física
Disciplina: Física 1
Primeira Avaliação
Turma: Licenciatura em Física
Prof. Samir Coutinho
Uma partícula move-se num círculo de acordo com a lei theta=3 t^2+2 t, onde theta é medido em radianos e t em segundos. Calcule (i) a velocidade angular e (ii) a aceleração angular 4 s depois. (iii) Calcule a aceleração centrípeta como função do tempo, sendo o raio do círculo de 2 m .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que está se movendo em um círculo, e a posição angular dela é dada por theta = 3t^2 + 2t, onde theta é em radianos e t em segundos. O que precisamos calcular aqui são:
  1. A velocidade angular da partícula.
  2. A aceleração angular dela depois de 4 segundos.
  3. A aceleração centrípeta em função do tempo, sabendo que o raio do círculo é de 2 metros.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular. Na física, a velocidade angular ( omega) é a taxa de variação da posição angular ( theta) em relação ao tempo ( t). Matematicamente, isso significa que omega é a primeira derivada de theta em relação a t.
Então, temos:
omega(t) = dthetadt
Dada a função theta = 3t^2 + 2t, vamos derivar em relação a t:
omega(t) = ddt(3t^2 + 2t) = 6t + 2
Então, a velocidade angular da partícula é:
omega(t) = 6t + 2 , rad/s

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração angular. A aceleração angular ( alpha) é a taxa de variação da velocidade angular em relação ao tempo, ou seja, é a segunda derivada de theta ou a primeira derivada de omega:
alpha(t) = domegadt = d^2thetadt^2
Usando a expressão que encontramos para omega(t):
alpha(t) = ddt(6t + 2) = 6 , rad/s² ²
A aceleração angular é constante e igual a 6 rad/s². Mas o enunciado pede a aceleração angular 4 segundos depois. Como alpha(t) é constante:
alpha(4) = 6 , rad/s² ²

Passo 4

Por último, vamos calcular a aceleração centrípeta ( ac). A aceleração centrípeta é a aceleração que mantém a partícula em movimento circular e é dada por:
ac = omega^2 times r
Onde:
  • omega é a velocidade angular,
  • r é o raio do círculo.
Temos r = 2 , m e já encontramos omega(t) = 6t + 2. Então, substituindo:
ac(t) = (6t + 2)^2 times 2
Vamos expandir (6t + 2)^2:
(6t + 2)^2 = 36t^2 + 24t + 4
Multiplicando por 2:
ac(t) = 72t^2 + 48t + 8 , m/s² ²

Resposta

  1. Velocidade angular: omega(t) = 6t + 2 , rad/s
  2. Aceleração angular 4 segundos depois: alpha(4) = 6 , rad/s²²
  3. Aceleração centrípeta em função do tempo: ac(t) = 72t^2 + 48t + 8 , m/s²²

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