Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Maranhão
Departamento de Física
Disciplina: Física 1
Primeira Avaliação
Turma: Licenciatura em Física
Prof. Samir Coutinho
Seja a equação Gamma=2 m^a K^b x^c, em que Gamma é o tempo, m é a massa, K é constante mola cuja dimensão é dada por [M][T]^2 e x é o comprimento. Para que a equação seja dimensionalmente homogênea, determine os valores de a, b e c.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para encontrar os valores de a, b e c na equação Gamma = 2 m^a K^b x^c de forma que ela seja dimensionalmente homogênea. Isso significa que as dimensões (como massa, tempo e comprimento) dos dois lados da equação devem ser iguais. Para resolver isso, vamos usar a análise dimensional, que nos ajuda a garantir que as equações físicas façam sentido em termos de unidades.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada quantidade envolvida na equação:
  • Gamma representa o tempo, cuja dimensão é [T].
  • m é a massa, com dimensão [M].
  • K é a constante mola, e a dimensão dela é dada por [M][T]^2.
  • x é o comprimento, com dimensão [L].

Passo 3

Agora, vamos substituir essas dimensões na equação Gamma = 2 m^a K^b x^c. Ignoramos o fator numérico 2 porque ele não afeta as dimensões. Ficamos com:
[T] = [M]^a ([M][T]^2)^b [L]^c

Passo 4

Vamos simplificar as dimensões do lado direito da equação:
[M]^a ([M][T]^2)^b [L]^c = [M]^a [M]^b [T]^-2b [L]^c = [M]^a+b [T]^-2b [L]^c

Passo 5

Agora, igualamos as dimensões dos dois lados da equação:
[T] = [M]^a+b [T]^-2b [L]^c
Isso significa que:
  • O expoente de [M] deve ser 0, porque não há massa no lado esquerdo.
  • O expoente de [T] deve ser 1.
  • O expoente de [L] também deve ser 0, pois não há comprimento no lado esquerdo.

Passo 6

Vamos escrever essas igualdades:
  1. Para [M]: a + b = 0
  2. Para [T]: -2b = 1
  3. Para [L]: c = 0

Passo 7

Agora, resolvemos o sistema de equações:
  1. Da segunda equação: -2b = 1 Rightarrow b = -12
  2. Substituindo b na primeira equação: a + (-12) = 0 Rightarrow a = 12
  3. A terceira equação já nos dá c = 0

Resposta

Os valores que tornam a equação dimensionalmente homogênea são:
a = 12, b = -12, c = 0

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