(Instituto Verbena/2024 - TJ/AC) Em uma sala de aula com 30 discentes da disciplina de introdução à probabilidade, qual é a probabilidade de pelo menos dois discentes fazerem aniversário no mesmo dia?
a) 365 ! 335!
b) 1-365!335!
c) 365!335!365^30
d) 1-365!335!365^30

Passo 1

Beleza, temos 30 alunos numa sala e queremos a probabilidade de “pelo menos dois fazem aniversário no mesmo dia”. Isso é um problema clássico de probabilidade: vamos usar o Princípio do Complemento (ou seja, calcular primeiro a probabilidade de nenhum aniversário coincidir e depois subtrair de 1). Para isso precisamos de:
  • Noções de evento complementar (P(A) = 1 – P(Aᶜ)).
  • Como contar arranjos distintos de aniversários usando fatorial e o espaço amostral de 365 dias.

Passo 2

Primeiro, achamos a probabilidade de todos fazerem aniversário em dias diferentes (evento complementar).
  1. Para o 1º aluno qualquer dia serve: probabilidade = tfrac365365.
  2. Para o 2º aluno, tem de ser um dia que ainda não foi usado: tfrac364365.
  3. E assim por diante até o 30º: tfrac365 - 29365 = tfrac336365.
    Então
P(todos diferentes) = 365365times364365timescdotstimes336365 = 365!(365-30)!,365^30 = 365!335!,365^30

Passo 3

Agora usamos o complemento:
P(pelo menos um empate) = 1 - P(todos diferentes) = 1 - 365!335!,365^30
Basta ver qual alternativa bate com isso: é a letra d).

Resposta

d) 1-365!335!365^30

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