Suponha que
e
tenham a seguinte distribuição conjunta de probabilidade
X | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|
1 | 0,1 | 0,1 | 0 |
2 | 0,1 | 0,2 | 0,3 |
3 | 0,1 | 0,1 | 0 |
Determinar a função de probabilidade de
e use-a para calcular
;
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias discretas X e Y com uma tabela de probabilidades conjuntas. A tarefa é definir uma nova variável Z = X Y, achar a função de probabilidade de Z e, a partir dela, calcular E(Z) = E(X Y).
Conteúdo: distribuição conjunta de variáveis discretas, transformação de variáveis (Z = g(X,Y)) e cálculo de esperança. Vamos precisar:
Conteúdo: distribuição conjunta de variáveis discretas, transformação de variáveis (Z = g(X,Y)) e cálculo de esperança. Vamos precisar:
- entender como somar as probabilidades p_{X,Y}(x,y) quando x y dá o mesmo valor;
- usar a fórmula E(Z)=∑_z z p_Z(z).
Passo 2
Primeiro, a regra geral:
.
Ou seja, a probabilidade de Z tomar o valor z é a soma de todas as p_{X,Y}(x,y) cujos produtos x y sejam iguais a z.
Vamos listar todos os pares (x,y), ver o produto e anotar a p:
Ou seja, a probabilidade de Z tomar o valor z é a soma de todas as p_{X,Y}(x,y) cujos produtos x y sejam iguais a z.
Vamos listar todos os pares (x,y), ver o produto e anotar a p:
- (1,1) → z=1, p=0{,}1
- (1,2) → z=2, p=0{,}1
- (1,3) → z=3, p=0
- (2,1) → z=2, p=0{,}1
- (2,2) → z=4, p=0{,}2
- (2,3) → z=6, p=0{,}3
- (3,1) → z=3, p=0{,}1
- (3,2) → z=6, p=0{,}1
- (3,3) → z=9, p=0
Passo 3
Agora somamos as probabilidades para cada valor z que apareceu:
- z=1:
- z=2:
- z=3:
- z=4:
- z=6:
Valores z=9 tem prob zero, então não entra na distribuição.
Passo 4
Para achar a esperança de Z usamos
Substituindo:
Resposta
A função de probabilidade de
é
e
.