Suponha que X e Y tenham a seguinte distribuição conjunta de probabilidade
X 1 2 3
1 0,1 0,1 0
2 0,1 0,2 0,3
3 0,1 0,1 0
Determinar a função de probabilidade de X Y e use-a para calcular E(X Y);

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias discretas X e Y com uma tabela de probabilidades conjuntas. A tarefa é definir uma nova variável Z = X Y, achar a função de probabilidade de Z e, a partir dela, calcular E(Z) = E(X Y).
Conteúdo: distribuição conjunta de variáveis discretas, transformação de variáveis (Z = g(X,Y)) e cálculo de esperança. Vamos precisar:
  1. entender como somar as probabilidades p_{X,Y}(x,y) quando x y dá o mesmo valor;
  2. usar a fórmula E(Z)=∑_z z p_Z(z).

Passo 2

Primeiro, a regra geral:
.
Ou seja, a probabilidade de Z tomar o valor z é a soma de todas as p_{X,Y}(x,y) cujos produtos x y sejam iguais a z.
Vamos listar todos os pares (x,y), ver o produto e anotar a p:
  • (1,1) → z=1, p=0{,}1
  • (1,2) → z=2, p=0{,}1
  • (1,3) → z=3, p=0
  • (2,1) → z=2, p=0{,}1
  • (2,2) → z=4, p=0{,}2
  • (2,3) → z=6, p=0{,}3
  • (3,1) → z=3, p=0{,}1
  • (3,2) → z=6, p=0{,}1
  • (3,3) → z=9, p=0

Passo 3

Agora somamos as probabilidades para cada valor z que apareceu:
  • z=1:
  • z=2:
  • z=3:
  • z=4:
  • z=6:
    Valores z=9 tem prob zero, então não entra na distribuição.

Passo 4

Para achar a esperança de Z usamos
E(Z)=sumz z,pZ(z)
Substituindo:
E(Z)=1cdot0,1+2cdot0,2+3cdot0,1+4cdot0,2+6cdot0,4 =0,1+0,4+0,3+0,8+2,4=4,0

Resposta

A função de probabilidade de pZ(1)=0,1, pZ(2)=0,2, pZ(3)=0,1, pZ(4)=0,2, pZ(6)=0,4, é
e .

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