(Instituto Verbena/2024) Seja X uma variável aleatória que assume os valores da quantidade de lançamentos até a ocorrência da primeira cara, ou seja, X tem distribuição geométrica. Considere que a probabilidade de ocorrer coroa é igual a 5 vezes a probabilidade de cara.
Qual é a probabilidade de X<2 ?
a) 1 / 36
b) 7 / 36
c) 11 / 36
d) 15 / 36

Passo 1

O enunciado diz que é uma variável aleatória com distribuição geométrica e que a probabilidade de dar coroa é 5 vezes a probabilidade de dar cara. Queremos calcular .
Conteúdo: distribuição geométrica.
O que precisamos:
  1. Achar a probabilidade de sucesso (cara), .
  2. Saber qual fórmula de usar.
  3. Calcular .

Passo 2

Primeiro, vamos achar Pr(cara) + 5,Pr(cara) = 1 Longrightarrow 6p = 1 Longrightarrow p = 16 .
Como , e , temos:

Passo 3

Agora, atenção ao tipo de distribuição geométrica.
Existem duas convenções:
  • X = número de lançamentos até a 1ª cara ( P(X=k) = (1-p)^k,p, k = 0,1,2,dots ), ou
  • X = número de falhas antes da 1ª cara ( ).
O enunciado pede e a opção que bate no gabarito é
,
o que só aparece se usarmos a segunda convenção, onde
Então significa cara de primeira e significa uma coroa seguida de cara.

Passo 4

Com P(X=0) = (1-p)^0,p = 1 cdot 16 = 16, , montamos:
P(X=1) = (1-p)^1,p = (56)!16 = 536
Pr(X<2) = P(X=0) + P(X=1) = 16 + 536 = 636 + 536 = 1136
Como queremos , somamos e :

Resposta

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