(Marinha/2022-CP-T) A despesa para a realização de um teste clínico com a finalidade de lançar um novo medicamento é igual a R . Se o teste falhar, ocorrerá um custo adicional de Se o teste falhar, ocorrerá um custo adicional de . Supondo que a probabilidade de sucesso em uma tentativa qualquer seja 0,2 , se as probabilidades forem independentes e se os testes continuarem até que o primeiro resultado positivo seja alcançado, qual será a despesa esperada do procedimento completo?
a) 3 5 0, 00
b) R
c) b)
d) 7.800,00
e) R

Passo 1

Beleza, olha só o que o enunciado diz: cada tentativa de teste clínico custa R$ 1.500,00; se o teste falha, aparece um custo extra de R$ 350,00. A probabilidade de sucesso em cada tentativa é 1.500,00; se o teste falha, aparece um custo extra de R, e a gente vai repetir até sair o primeiro sucesso. A missão é calcular a despesa esperada total desse processo.
Conteúdo: distribuição geométrica (número de tentativas até o primeiro sucesso), esperança matemática e propriedade de linearidade da esperança.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a variável aleatória E[N] ;=; 1p :
número de tentativas até o primeiro sucesso.
Para cada tentativa a probabilidade de sucesso é e as tentativas são independentes. Isso caracteriza uma distribuição geométrica com parâmetro .
Teoria: se , então

Passo 3

Agora, vamos modelar o custo total 1.500 + R.
  • Cada falha consome 1.850) - Quando sai o sucesso, gastamos só R.
  • Quando sai o sucesso, gastamos só R$ 1.500 naquela última tentativa.
    Se C ;=; (N-1)times 1,850 ;+; 1,500 tentativas forem feitas, temos falhas e 1 sucesso. Logo

Passo 4

Vamos calcular a esperança E[C] = El[(N-1)times 1850 + 1500r] = 1850,E[N-1] + 1500 usando linearidade:
E[C] = 1850l(1p-1r) + 1500
Como , e sabemos que , temos

Passo 5

Basta substituir 1p-1 = 10,2-1 = 5 - 1 = 4 :
E[C] = 1850times 4 + 1500 = 7400 + 1500 = 8900
Então

Resposta

A despesa esperada é R$ 8.900,00 (alternativa c).

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