(Marinha/2022-CP-T) A despesa para a realização de um teste clínico com a finalidade de lançar um novo medicamento é igual a
. Se o teste falhar, ocorrerá um custo adicional de
. Supondo que a probabilidade de sucesso em uma tentativa qualquer seja 0,2 , se as probabilidades forem independentes e se os testes continuarem até que o primeiro resultado positivo seja alcançado, qual será a despesa esperada do procedimento completo?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, olha só o que o enunciado diz: cada tentativa de teste clínico custa R$ 1.500,00; se o teste falha, aparece um custo extra de R$ 350,00. A probabilidade de sucesso em cada tentativa é
, e a gente vai repetir até sair o primeiro sucesso. A missão é calcular a despesa esperada total desse processo.
Conteúdo: distribuição geométrica (número de tentativas até o primeiro sucesso), esperança matemática e propriedade de linearidade da esperança.
Conteúdo: distribuição geométrica (número de tentativas até o primeiro sucesso), esperança matemática e propriedade de linearidade da esperança.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a variável aleatória
:
número de tentativas até o primeiro sucesso.
Para cada tentativa a probabilidade de sucesso é e as tentativas são independentes. Isso caracteriza uma distribuição geométrica com parâmetro
.
Teoria: se , então
Para cada tentativa a probabilidade de sucesso é
Teoria: se
Passo 3
Agora, vamos modelar o custo total
.
- Cada falha consome
. - Quando sai o sucesso, gastamos só R$ 1.500 naquela última tentativa.
Setentativas forem feitas, temos falhas e 1 sucesso. Logo
Passo 4
Vamos calcular a esperança
usando linearidade:
Como
, e sabemos que
, temos
Passo 5
Basta substituir
:
Então
Resposta
A despesa esperada é R$ 8.900,00 (alternativa c).