Em cada caso, esboce a superfície formada pelo conjunto dos pontos
(x, y, z) in R^3 tais que:
x^2-y^2+z^2=1.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a superfície
x^2-y^2+z^2=1
em R^3.
Conteúdo: classificação de superfícies quadráticas (quadricas) e uso de secções planas para visualizar o sólido.

Passo 2

Colocamos em forma canônica comparando com
x^21+z^21-y^21=1
Aqui há dois termos com sinal positivo ( x^2 e z^2) e um termo com sinal negativo ( -y^2).

Passo 3

Quando uma quadric has exatamente um termo negativo e o valor do lado direito é positivo, trata-se de um hiperbolóide de uma folha. O eixo principal é a reta ao longo da variável que aparece com sinal negativo, ou seja, o eixo y.

Passo 4

Para entender o formato, olhemos às secções planas:
– Secção por y=y0 fixa:
x^2+z^2=1+y0^2,
círculo de raio raiz1+y0^2 no plano paralelo a xz. À medida que lvert y0rvert cresce, o círculo cresce.
– Secção por x=x0 fixa:
z^2-y^2=1 - x0^2,
que, para lvert x0rvert<1, é hipérbole com duas “asas” simétricas; para lvert x0rvert>1 também.
– Secção por z=z0 fixa:
x^2-y^2=1 - z0^2,
outra hipérbole no plano xy.

Passo 5

Como as secções circulares nunca desaparecem (o raio é sempre >=1) e há sempre hipérboles cortando os planos verticais, o sólido é um único “tubo” alongado ao longo do eixo y. No limite lvert yrverttoinfty, a superfície tende à cone dado por
x^2+z^2-y^2=0,
que são as geratrizes assintóticas do hiperbolóide.

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de uma folha, com eixo principal ao longo de y, cujas secções y=const são círculos de raio raiz1+y^2.

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