Em cada caso, esboce a superfície formada pelo conjunto dos pontos
tais que:
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a superfície
em
.
Conteúdo: classificação de superfícies quadráticas (quadricas) e uso de secções planas para visualizar o sólido.
Conteúdo: classificação de superfícies quadráticas (quadricas) e uso de secções planas para visualizar o sólido.
Passo 2
Colocamos em forma canônica comparando com
Aqui há dois termos com sinal positivo (
e
) e um termo com sinal negativo (
).
Passo 3
Quando uma quadric has exatamente um termo negativo e o valor do lado direito é positivo, trata-se de um hiperbolóide de uma folha. O eixo principal é a reta ao longo da variável que aparece com sinal negativo, ou seja, o eixo
.
Passo 4
Para entender o formato, olhemos às secções planas:
– Secção por fixa:
– Secção por
círculo de raio
no plano paralelo a
. À medida que
cresce, o círculo cresce.
– Secção por fixa:
– Secção por
que, para
, é hipérbole com duas “asas” simétricas; para
também.
– Secção por fixa:
– Secção por
outra hipérbole no plano
.
Passo 5
Como as secções circulares nunca desaparecem (o raio é sempre
) e há sempre hipérboles cortando os planos verticais, o sólido é um único “tubo” alongado ao longo do eixo
. No limite
, a superfície tende à cone dado por
que são as geratrizes assintóticas do hiperbolóide.
Resposta
A superfície é um hiperbolóide de uma folha, com eixo principal ao longo de
, cujas secções
são círculos de raio
.