Instrução: Para cada função abaixo, encontre sua representação como série de potências centrada em e determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
(d)
Passo 1
O enunciado pede a série de potências centrada em da função
além do seu raio de convergência e intervalo de convergência.
O conteúdo principal aqui é usar a série geométrica
Passo 2
Reescrevemos num formato geométrico:
Aqui identificamos , para podermos usar .
Passo 3
Aplicando a série de com , obtemos
Multiplicando por , resulta
Passo 4
O critério de convergência da série geométrica exige
Logo o raio de convergência é
R=2
Passo 5
Nos pontos extremos x=2 e x=-2 a série vira sum(-1)^n/2 ou sum1/2, ambas divergentes. Portanto o intervalo de convergência é aberto:
(-2,2)
Resposta
k(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^n2^n+1, R=2, intervalo de convergência (-2,2) ê