Instrução: Para cada função abaixo, encontre sua representação como série de potências centrada em a=0 e determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
(d) k(x)=12+x

Passo 1

O enunciado pede a série de potências centrada em a=0 da função
k(x)=12+x
além do seu raio de convergência e intervalo de convergência.
O conteúdo principal aqui é usar a série geométrica
11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n, |u|<1

Passo 2

Reescrevemos k(x) num formato geométrico:
k(x)=12+x=12,11+x2
Aqui identificamos u=x2, para podermos usar
11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n.

Passo 3

Aplicando a série de 11+u com u=tfracx2, obtemos
11+x2 =sumn=0^infty(-1)^nl(x2r)^n =sumn=0^infty(-1)^nx^n2^n
Multiplicando por tfrac12, resulta
k(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^n2^n+1

Passo 4

O critério de convergência da série geométrica exige
l|x2r|<1 Longrightarrow |x|<2
Logo o raio de convergência é
R=2

Passo 5

Nos pontos extremos x=2 e x=-2 a série vira
sum(-1)^n/2 ou sum1/2, ambas divergentes. Portanto o intervalo de convergência é aberto:
(-2,2)

Resposta

k(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^n2^n+1, R=2, intervalo de convergência (-2,2) ê

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