5 Mostre que se a mediana M A relativa ao lado B C de um triângulo A B C forma um ângulo de medida 80 com M C, então widehatC>widehatB.

Passo 1

Temos o triângulo ABC e M é o ponto médio do lado BC. A mediana AM forma, em M, o ângulo
widehatAMC = 80^circ
Queremos mostrar que
widehatC > widehatB
Para isso vamos comparar os triângulos AMB e AMC, usando o fato de que em dois triângulos com dois lados iguais aquele que tem o maior ângulo entre esses lados terá o maior terceiro lado, e depois usar que, num mesmo triângulo, maior lado está oposto a maior ângulo.

Passo 2

Como M é ponto médio de BC, temos
BM = MC
e os pontos B,M,C são colineares.

Passo 3

Pela colinearidade de B,M,C, os ângulos widehatAMC e widehatAMB são suplementares. Logo,
widehatAMB = 180^circ - widehatAMC = 180^circ - 80^circ = 100^circ

Passo 4

Nos triângulos AMB e AMC temos
AM = AM, BM = CM,
e o ângulo incluído widehatAMB=100^circ é maior que widehatAMC=80^circ. Pelo critério desigualdade Lado–Ângulo–Lado, segue que o terceiro lado em AMB, que é AB, é maior que o terceiro lado em AMC, que é AC:
AB > AC

Passo 5

No triângulo ABC, maior lado está oposto a maior ângulo. Como AB é oposto a widehatC e AC é oposto a widehatB, a desigualdade
AB > AC
implica
widehatC > widehatB

Resposta

widehatC>widehatB.

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