Instrução: Para cada função abaixo, encontre sua representação como série de potências centrada em a=0 e determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
(b) g(x)=arctan (x)

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de g(x)=arctan(x) centrada em a=0, seu raio de convergência e o intervalo de convergência. Vamos usar o fato de que a derivada de arctan(x) é uma série geométrica para obter a expansão e, em seguida, empregar o teste da razão e teste dos extremos para determinar a convergência.

Passo 2

Como dfracddxl[arctan(x)r]=dfrac11+x^2 e para |x|<1
11+x^2=11-(-x^2) =sumn=0^infty(-1)^n x^2n,
podemos escrever
g'(x)=sumn=0^infty(-1)^n x^2n

Passo 3

Integramos termo a termo de 0 a x, lembrando que arctan(0)=0, para obter g(x):
g(x)=integral0^xg'(t),dt =integral0^xsumn=0^infty(-1)^n t^2n,dt =sumn=0^infty(-1)^nintegral0^xt^2n,dt =sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1

Passo 4

Aplicamos o teste da razão ao termo geral
an = (-1)^n x^2n+12n+1.
Temos
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|x|^2n+32n+3cdot2n+1|x|^2n+1 =limntoinfty|x|^22n+12n+3 =|x|^2
Para convergência precisa de |x|^2<1, ou seja |x|<1. Logo o raio de convergência é R=1.

Passo 5

Nos extremos x=1 e x=-1 a série torna-se a série alternante
sumn=0^infty(-1)^n2n+1 e sumn=0^infty(-1)^n+12n+1,
cujo termo geral em valor absoluto tfrac12n+1 decresce a zero. Pelo teste de Leibniz, ambas convergem. Portanto o intervalo de convergência é [-1,1].

Resposta

A série de potências de arctan(x) em torno de 0 é
arctan(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1
O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é l[-1,1r].

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