Instrução: Para cada função abaixo, encontre sua representação como série de potências centrada em e determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
(b)
Passo 1
O enunciado pede a série de potências de centrada em , seu raio de convergência e o intervalo de convergência. Vamos usar o fato de que a derivada de é uma série geométrica para obter a expansão e, em seguida, empregar o teste da razão e teste dos extremos para determinar a convergência.
Passo 2
Como e para
podemos escrever
Passo 3
Integramos termo a termo de a , lembrando que , para obter :
Passo 4
Aplicamos o teste da razão ao termo geral .
Temos
Para convergência precisa de |x|^2<1, ou seja |x|<1. Logo o raio de convergência é R=1.
Passo 5
Nos extremos x=1 e x=-1 a série torna-se a série alternante
sumn=0^infty(-1)^n2n+1 e sumn=0^infty(-1)^n+12n+1,
cujo termo geral em valor absoluto tfrac12n+1 decresce a zero. Pelo teste de Leibniz, ambas convergem. Portanto o intervalo de convergência é [-1,1].
Resposta
A série de potências de arctan(x) em torno de 0 é
arctan(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1
O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é l[-1,1r].