Instrução: Nos exercícios 2-7, determine se é dada uma distribuição de probabilidade. Nos casos em que não se descreve uma distribuição de probabilidade, identifique os requisitos que não são satisfeitos. Nos casos em que se descreve uma distribuição de probabilidade, ache sua média e seu desvio padrão.
05. (Seguro de Vida) A Companhia Telektronic fornece seguros de vida para seus quatro maiores executivos, e a variável x é o número desses empregados que viveram durante o ano seguinte.
x P(x)
0 0,0000
1 0,0001
2 0,0006
3 0,0387
4 0,9606

Passo 1

O enunciado apresenta a variável aleatória x, que conta o número de executivos (de um total de 4) que vivem durante o ano seguinte. Foi dada a função massa de probabilidade P(x) para x=0,1,2,3,4. Nosso objetivo é verificar se isso é de fato uma distribuição de probabilidade. Se for, vamos calcular a média \mu e o desvio padrão \sigma.

Passo 2

Para ser uma distribuição de probabilidade, devemos ter
  1. P(x)\ge0 para todo x.
  2. \displaystyle\sum_{x=0}^{4}P(x)=1.
Observando a tabela, todos os valores de P(x) são não negativos. Agora checkamos a soma:
\sum_{x=0}^{4}P(x) =0 + 0,0001 + 0,0006 + 0,0387 + 0,9606 =1,0000.
Como ambas as condições estão satisfeitas, é uma distribuição de probabilidade válida.

Passo 3

A média de uma variável discreta é
\mu = \sum_{x=0}^{4} x\,P(x).
Substituindo:
\mu =0\cdot0 + 1\cdot0,0001 + 2\cdot0,0006 + 3\cdot0,0387 + 4\cdot0,9606 =3,9598.

Passo 4

Para o desvio padrão, calculamos primeiro E(x^2):
E(x^2) =\sum_{x=0}^{4} x^2\,P(x) =0^2\cdot0 + 1^2\cdot0,0001 + 2^2\cdot0,0006 + 3^2\cdot0,0387 + 4^2\cdot0,9606 =15,7204.
A variância é
\mathrm{Var}(x) =E(x^2)-\mu^2 =15,7204 - (3,9598)^2 \approx0,0404
e o desvio padrão
\sigma = \sqrt{0,0404}\approx0,2010.

Resposta

\displaystyle \mu = 3,9598,\quad \sigma \approx 0,2010.

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