Instruções: deixe as respostas finais à caneta, mostre todos os cálculos/etapas, use letra legível e justifique todas as respostas; é proibido uso de celular; permitido uso de formulário e calculadora científica; use no mínimo 3 casas decimais em suas contas. Considere 1 \mathrm{cal}=4,18 \mathrm{~J}.
Um homem está “ao pé” do monte Everest, a uma temperatura de 7^{\circ} \mathrm{C}, e parte de seu equipamento de escalada consiste em uma barra (de 300 g e 1 m ) de alumínio. Considere para o alumínio o coeficiente de dilatação linear 2,3 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} \mathrm{C}, o calor específico 0,22 \mathrm{cal} / \mathrm{g}{ }^{\circ} \mathrm{C}, o ponto de fusão 60^{\circ} \mathrm{C} e seu calor latente de fusão 95 \mathrm{cal} / \mathrm{g}.
a) Ao chegar ao topo do monte o aventureiro percebe que a barra esta, 0,1 \% menor. Qual a temperatura no topo?
b) Quanta energia térmica é necessária para fundir completamente esta barra de alumínio “ao pé” do monte Everest?

Passo 1

O enunciado envolve dois tópicos de Termodinâmica: dilatação térmica linear e calorimetria. Temos uma barra de alumínio de comprimento inicial L_{0}=1{,}000\\ \mathrm{m}, massa m=300\\ \mathrm{g} e temperatura inicial T_{0}=7^\circ\mathrm{C}. O coeficiente de dilatação linear do alumínio é \alpha=2,3\times10^{-5}\,/^\circ\mathrm{C}. O barrote no topo está 0{,}1\% menor: isso nos leva a usar a fórmula da dilatação linear para achar a temperatura no topo. Em seguida, para fundir a barra “ao pé” do monte, usamos o calor sensível \bigl(Q_{\rm sens}=m\,c\,\Delta T\bigr) e o calor latente de fusão \bigl(Q_{\rm lat}=m\,L_f\bigr).

Passo 2

Para a dilatação linear usamos
\frac{\Delta L}{L_{0}}=\alpha\,\Delta T,
onde \Delta L=L_{\rm topo}-L_{0} e \Delta T=T_{\rm topo}-T_{0}. Como a barra encolheu 0{,}1\%, temos
\frac{\Delta L}{L_{0}}=-0{,}001\,.

Passo 3

Isolando \Delta T:
\Delta T=\frac{\Delta L/L_{0}}{\alpha} =\frac{-0{,}001}{2{,}3\times10^{-5}} =-43{,}478\\ ^\circ\mathrm{C}\,.

Passo 4

A temperatura no topo é
T_{\rm topo}=T_{0}+\Delta T =7^\circ\mathrm{C}+(-43{,}478^\circ\mathrm{C}) =-36{,}478^\circ\mathrm{C}\,.

Passo 5

Para fundir a barra a partir de T_{0}=7^\circ\mathrm{C} até o ponto de fusão T_{m}=60^\circ\mathrm{C} e depois completar a fusão, o calor total é
Q = Q_{\rm sens}+Q_{\rm lat} = m\,c\,(T_{m}-T_{0}) \;+\; m\,L_{f}.

Passo 6

Calculando o calor sensível:
Q_{\rm sens} =300\,\mathrm{g}\times0{,}22\frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C}}\times(60-7)^\circ\mathrm{C} =300\times0{,}22\times53 =3\,498{,}000\\ \mathrm{cal}.

Passo 7

Calculando o calor latente de fusão:
Q_{\rm lat} =300\,\mathrm{g}\times95\frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}} =28\,500{,}000\\ \mathrm{cal}.

Passo 8

Somando e convertendo para joules ( 1\\ \mathrm{cal}=4{,}18\\ \mathrm{J}):
Q_{\rm total} =3\,498{,}000 +28\,500{,}000 =31\,998{,}000\\ \mathrm{cal} \quad\Longrightarrow\quad 31\,998{,}000\times4{,}18 =133\,813{,}640\\ \mathrm{J}.

Resposta

a) A temperatura no topo é aproximadamente -36{,}478^\circ\mathrm{C}.
b) A energia térmica necessária para fundir completamente a barra é 1,33813\times10^{5}\\ \mathrm{J}.

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