(1, 0 ponto) Determine a derivada direcional de f(x, y)=x^3 y^4-x^4 y^3 no ponto (1,1) e na direção indicada pelo ângulo theta=- 6^pi

Passo 1

Temos a função f(x,y)=x^3y^4 - x^4y^3 e queremos a derivada direcional em (1,1) na direção do ângulo theta=-tfracpi6. O conteúdo é derivada direcional, e vamos precisar do gradiente nabla f e do vetor unitário da direção.
A derivada direcional de f em um ponto (x0,y0) na direção do vetor unitário u é dada por Duf(x0,y0)=nabla f(x0,y0)cdot u

Passo 2

Calculamos primeiro as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=3x^2y^4-4x^3y^3, partial fpartial y=4x^3y^3-3x^4y^2

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em (1,1):
nabla f(1,1)=l(3cdot1^2cdot1^4-4cdot1^3cdot1^3,;4cdot1^3cdot1^3-3cdot1^4cdot1^2r)=(-1,,1)

Passo 4

O vetor unitário na direção theta=-tfracpi6 é
u=(cos(-tfracpi6),,sin(-tfracpi6))=(tfracraiz32,,-tfrac12)

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional em (1,1) é o produto escalar:
Duf(1,1)=(-1,1)cdotl(tfracraiz32,,-tfrac12r)=-tfracraiz32-tfrac12=-tfracraiz3+12

Resposta

-\frac{\sqrt{3}+1}{2}

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