Instruções:
  • Todas as respostas devem ser devidamente justificadas para serem aceitas;
  • É permitido o uso de calculadora;
  • É permitido o uso de formulário, desde que seja feito pelo próprio aluno.
Dados: |e|=1,60 \cdot 10^{-19} \mathrm{C}, \quad m_{P}=1,67 \cdot 10^{-27} \mathrm{~kg}, \quad m_{e}=9,11 \cdot 10^{-31} \mathrm{~kg}, |g|=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, V_{\text {esfera }}=\frac{4}{3} \pi R^{3}, A_{\text {esfera }}=4 \pi R^{2}.
  1. (1,0) Uma carga puntiforme q=8,0 \times 10^{-9} C está localizada na origem. Determine o vetor do campo elétrico para o ponto do campo \mathrm{x}=1,2 \mathrm{~m}, \mathrm{y}=-1,6 \mathrm{~m}. Lembrete: \hat{r}=\frac{\vec{r}}{|r|}=\frac{x \hat{\imath}+y \hat{\jmath}}{r}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Carga puntiforme: q=8{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C} localizada na origem.
  • Ponto onde queremos o campo: x=1{,}2\\ \mathrm{m},\; y=-1{,}6\\ \mathrm{m}.
  • Lembrete fornecido: \hat{r}=\dfrac{\vec{r}}{|\vec{r}|}=\dfrac{x\hat{\imath}+y\hat{\jmath}}{r}.
O que se pede:
  • Determinar o vetor campo elétrico \vec{E} no ponto (1{,}2,\,-1{,}6).

Passo 2

Primeiro montamos o vetor posição relativo à carga (a carga está na origem), calculamos seu módulo e a unidade radial.
  • Vetor posição do ponto em relação à origem:
\vec{r}=1{,}2\\ \hat{\imath}-1{,}6\\ \hat{\jmath}\\ \mathrm{(m)}.
  • Módulo de \vec{r}:
r=|\vec{r}|=\sqrt{(1{,}2)^2+(-1{,}6)^2}=\sqrt{1{,}44+2{,}56}=\sqrt{4{,}00}=2{,}0\\ \mathrm{m}.
(Observe que somei os quadrados das componentes e tirei a raiz; dá exatamente 2{,}0\\ \mathrm{m}.)
  • Vetor unitário radial:
\hat{r}=\dfrac{\vec{r}}{r}=\dfrac{1{,}2\\ \hat{\imath}-1{,}6\\ \hat{\jmath}}{2{,}0}=0{,}6\\ \hat{\imath}-0{,}8\\ \hat{\jmath}.
Explicação rápida: \hat{r} aponta na direção do ponto a partir da carga e tem comprimento 1. Para obter as componentes de \hat{r} basta dividir cada componente de \vec r pelo módulo r.

Passo 3

Agora usamos a lei de Coulomb para o campo elétrico de uma carga pontual:
\vec{E}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q}{r^2}\,\hat{r}.
Explicando cada símbolo:
  • \vec{E} é o vetor campo elétrico (unidade \mathrm{N/C}).
  • q é a carga que gera o campo ( \mathrm{C}).
  • r é a distância do ponto à carga ( \mathrm{m}).
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, \varepsilon_0\approx8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • A constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx8{,}98755179\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
Calculamos a magnitude de \vec{E}:
E=\dfrac{k\,q}{r^2}.
Substituindo os números (usei k\approx8{,}98755179\times10^{9}):
E=\dfrac{8{,}98755179\times10^{9}\times 8{,}0\times10^{-9}}{(2{,}0)^2} =\dfrac{8{,}98755179\times10^{9}\times 8{,}0\times10^{-9}}{4}.
Calculemos passo a passo:
8{,}98755179\times10^{9}\times 8{,}0\times10^{-9}=71{,}90041432\\ \mathrm{(N/C)}.
Dividindo por 4:
E=17{,}97510358\\ \mathrm{N/C}\approx17{,}98\\ \mathrm{N/C}.

Passo 4

Transformamos a magnitude em componentes usando \hat r. Como \hat{r}=0{,}6\hat{\imath}-0{,}8\hat{\jmath}:
  • Componente x:
E_x=E\cdot 0{,}6=17{,}97510358\times0{,}6=10{,}78506215\\ \mathrm{N/C}\approx10{,}8\\ \mathrm{N/C}.
  • Componente y:
E_y=E\cdot(-0{,}8)=17{,}97510358\times(-0{,}8)=-14{,}38008286\\ \mathrm{N/C}\approx-14{,}4\\ \mathrm{N/C}.
Interpretação: como q>0 o campo aponta para fora da carga, na mesma direção de \hat r; as componentes acima têm sinal consistente com isso (positivo em x, negativo em y).

Resposta

\displaystyle \vec{E}=10{,}8\\ \hat{\imath}-14{,}4\\ \hat{\jmath}\\ \mathrm{N/C}

Exercícios relacionados