Um transformador de distribuição de 50 \mathrm{kVA}, 2400: 240 \mathrm{~V} e 60 Hz tem uma impedância de dispersão de 0,72 +\mathrm{j} 0,92 \Omega no enrolamento de alta tensão e 0,0070+\mathrm{j} 0,0090 \Omega no enrolamento de baixa tensão. Na tensão e frequência nominais, a impedância do ramo de derivação, responsável pela corrente de excitação, é 632 +j 4370 \Omega, quando vista pelo lado de alta tensão.
a) Desenhe o circuito L do transformador com as impedâncias referidas ao lado de alta tensão com ramo de derivação ligado no lado de alta.
b) Se 2400 V for aplicada no lado de alta do transformador com o lado de baixa a vazio, calcule a tensão no secundário do transformador.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Desenhar (descrever) o circuito equivalente em “L” do transformador referindo todas as impedâncias ao lado de alta tensão, com o ramo de derivação (ramo de excitação) ligado no lado de alta.
  2. Aplicando 2400\\ \mathrm{V} no lado de alta com o lado de baixa em vazio (sem carga), calcular a tensão no secundário.
Informações dadas (vou listar todas elas, exatamente como estão no enunciado):
  • Potência nominal: 50\\ \mathrm{kVA} (não será necessária numericamente para a parte pedida, mas fica registrada).
  • Tensões nominais: 2400:240\\ \mathrm{V}.
  • Frequência: 60\\ \mathrm{Hz}.
  • Impedância de dispersão (leakage) no enrolamento de alta tensão (vista no próprio enrolamento de alta): 0,72 + j0,92\\ \Omega.
  • Impedância de dispersão no enrolamento de baixa tensão (vista no próprio enrolamento de baixa): 0,0070 + j0,0090\\ \Omega.
  • Impedância do ramo de derivação (ramo de excitação), já dada quando vista pelo lado de alta tensão: 632 + j4370\\ \Omega.
  • Pergunta (a): desenhar o circuito L com todas as impedâncias referidas ao lado de alta e com o ramo de derivação ligado no lado de alta.
  • Pergunta (b): com 2400\\ \mathrm{V} aplicada no lado de alta e o secundário aberto, calcular a tensão no secundário.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar como referir impedâncias de um enrolamento para o outro e calcular a impedância total de dispersão referida ao lado de alta.
Fórmula para referir uma impedância do secundário (baixa tensão) para o primário (alta tensão):
Z' = \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 Z
onde N_1/N_2 é a razão de espiras (a mesma que a razão de tensões nominais). Aqui a razão de tensões nominais é
\frac{N_1}{N_2}=\frac{2400}{240}=10.
Portanto a impedância do enrolamento de baixa referida ao lado de alta é:
Z_{b\to a} = 10^2\,(0,0070 + j0,0090)\\ \Omega.

Passo 3

Vamos calcular numericamente Z_{b\to a} e somar com a impedância de dispersão do próprio lado de alta para obter a impedância série total referida ao lado de alta.
Calcule:
Z_{b\to a} = 100\,(0,0070 + j0,0090)=0,70 + j0,90\\ \Omega.
Agora somamos com a impedância do enrolamento de alta que foi dada:
Z_{\text{eq}} = (0,72 + j0,92) + (0,70 + j0,90) = 1,42 + j1,82\\ \Omega.
Explicação didática curta: a impedância equivalente em série entre a fonte do lado de alta e o “terminal” do transformador ideal é a soma das impedâncias de leakage dos dois enrolamentos, com a do secundário previamente referida ao primário.

Passo 4

Descrever (desenhar em palavras) o circuito equivalente em “L” referido ao lado de alta com o ramo de derivação no lado de alta (respeitando o pedido da parte a):
  • Fonte de tensão aplicada no lado de alta: V_1 = 2400\\ \mathrm{V}.
  • Em série com a fonte, a impedância de dispersão equivalente referida ao lado de alta: \;Z_{\text{eq}} = 1,42 + j1,82\\ \Omega.
  • Após essa série, o nó de entrada do transformador ideal: entre esse nó e o neutro/retorno está ligado o ramo de derivação (ramo de excitação) cuja impedância vista pelo lado de alta já foi dada: \;Z_m = 632 + j4370\\ \Omega. Este ramo está em paralelo com o primário do transformador ideal (ou seja, com o “lado magnético”).
  • O secundário está aberto (sem carga), então não há corrente de carga; o único circuito que circula corrente é o ramo de excitação através de Z_m, que cria uma corrente que passa por Z_{\text{eq}} e causa pequena queda de tensão.
    Resumo esquemático em texto (fluxo da fonte para o transformador):
    Fonte V_1 -> série Z_{\text{eq}}(=1,42+j1,82) -> nó do primário do transformador (neste nó está ligado em paralelo Z_m=632+j4370) -> transformador ideal -> secundário aberto.

Passo 5

Agora vamos escrever as equações do circuito para achar a tensão no primário do transformador (tensão no nó depois de Z_{\text{eq}}), que chamo de V_p. Em vazio o único ramo que drena corrente é Z_m, então a corrente que atravessa Z_{\text{eq}} é a corrente do ramo de excitação:
I_m = \frac{V_p}{Z_m}.
A lei das tensões ao longo da série dá:
V_1 = I_m Z_{\text{eq}} + V_p.
Substituindo I_m:
V_1 = \frac{V_p}{Z_m} Z_{\text{eq}} + V_p = V_p\left(1 + \frac{Z_{\text{eq}}}{Z_m}\right).
Isolando V_p obtemos a fórmula chave que vamos usar:
V_p = V_1\cdot\frac{Z_m}{Z_m + Z_{\text{eq}}}.
Explicação didática: isso é simples divisão de tensão num divisor complexo formado por Z_{\text{eq}} em série com o ramo paralelo Z_m (quando vemos o paralelo pela perspectiva do nó, o ramo paralelo tem impedância Z_m porque não há outro ramo). A fórmula é análoga ao divisor de tensão real, só que com números complexos.

Passo 6

Vamos aplicar a fórmula com os valores numéricos (todos os números em \Omega e tensões em \mathrm{V}). Recordando:
Z_{\text{eq}} = 1,42 + j1,82\quad\text{e}\quad Z_m = 632 + j4370.
Primeiro somamos:
Z_m + Z_{\text{eq} } = (632+1,42) + j(4370+1,82)=633,42 + j4371,82.
Agora calculamos o quociente complexo
\frac{Z_m}{Z_m+Z_{\text{eq}}}=\frac{632 + j4370}{633,42 + j4371,82}.
Para dividir complexos, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
\frac{632 + j4370}{633,42 + j4371,82} = \frac{(632+j4370)(633,42 - j4371,82)}{(633,42)^2 + (4371,82)^2}.
Vou mostrar os produtos principais (operando com números para você poder reproduzir na prova, sem pular etapas):
Produto no numerador (parte real):
\text{Re} = 632\cdot633,42 + 4370\cdot4371,82 = 400\,321,44 + 19\,104\,853,4 = 19\,505\,174,84.
Produto no numerador (parte imaginária):
\text{Im} = 4370\cdot633,42 - 632\cdot4371,82 = 2\,768\,045,4 - 2\,762\,990,24 = 5\,055,16.
Denominador (módulo ao quadrado):
|633,42 + j4371,82|^2 = 633,42^2 + 4371,82^2 = 401\,220,8964 + 19\,112\,810,1124 = 19\,514\,031,0088.
Portanto o quociente complexo vale
\frac{Z_m}{Z_m+Z_{\text{eq}}} \approx \frac{19\,505\,174,84 + j5\,055,16}{19\,514\,031,0088} \approx 0,999547 + j0,000259.
(Explicação: o fato de a parte real ser praticamente 0,99955 e a parte imaginária muito pequena mostra que Z_m é muito maior que Z_{\text{eq}}, portanto a queda é pequena.)

Passo 7

Agora multiplicamos pelo valor aplicado V_1 = 2400\\ \mathrm{V} para obter V_p:
V_p = 2400\cdot(0,999547 + j0,000259) \approx 2398,913 + j0,622\\ \mathrm{V}.
Magnitude e fase de V_p:
|V_p| \approx 2398,913\\ \mathrm{V},\qquad \angle V_p \approx \arctan\!\left(\frac{0,622}{2398,913}\right)\approx 0,0149^\circ.
Interpretação: a tensão no primário do transformador (após a pequena queda em Z_{\text{eq}}) é praticamente 2400\\ \mathrm{V}, com uma redução muito pequena por causa da corrente de excitação.

Passo 8

Finalmente, como o transformador ideal tem relação de tensões igual à razão de espiras N_1/N_2 = 10, a tensão no secundário (em vazio) é
V_s = \frac{V_p}{10}.
Aplicando isso aos valores obtidos:
V_s \approx \frac{2398,913 + j0,622}{10} \approx 239,891 + j0,062\\ \mathrm{V}.
Magnitute e fase:
|V_s| \approx 239,891\\ \mathrm{V},\qquad \angle V_s \approx 0,0149^\circ.
Conclusão física: o secundário em vazio fica muito próximo da tensão nominal de 240\\ \mathrm{V}, ligeiramente abaixo (cerca de 0,109\\ \mathrm{V} abaixo), devido à pequena queda na impedância de dispersão causada pela corrente de excitação.

Resposta

a) Circuito L (descrição): Fonte 2400\\ \mathrm{V} -> série Z_{\text{eq}} = 1,42 + j1,82\\ \Omega -> nó do primário (aqui está ligado em paralelo o ramo de excitação Z_m = 632 + j4370\\ \Omega) -> transformador ideal -> secundário aberto.
b) Tensão no secundário em vazio: V_s \approx 239,891 + j0,062\\ \mathrm{V}, magnitude |V_s|\approx 239,891\\ \mathrm{V} (ângulo \approx 0,0149^\circ).

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