(2,5 pontos) Calcular \iiint_{T} x d V, sendo T a regiāo delimitada por x^{2}+(y-3)^{2}+(z-2)^{2}=9. Sugestāo: Fazer a mudança de variáveis para coordenadas esféricas através da fórmula \iiint_{T} f(x, y, z) d V=\iiint_{T^{\prime}} f(\rho \sin \varphi \cos \theta, 3+\rho \sin \varphi \sin \theta, 2+\rho \cos \varphi) \rho^{2} \sin \varphi d \rho d \varphi d \theta.
“Eis como será abençoada a pessoa que teme o SENHOR!”

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iiint_{T} x \,dV
onde T é a bola de raio 3 centrada em (0,3,2), isto é
T=\bigl\{(x,y,z)\mid x^{2}+(y-3)^{2}+(z-2)^{2}\le9\bigr\}.
O conteúdo é mudança de variáveis para coordenadas esféricas deslocadas, e precisaremos usar o jacobiano \rho^{2}\sin\varphi.

Passo 2

Fazemos a mudança
\begin{cases} x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\\\ y=3+\rho\sin\varphi\sin\theta,\\\ z=2+\rho\cos\varphi, \end{cases}
com \rho\in[0,3], \varphi\in[0,\pi], \theta\in[0,2\pi], e jacobiano
\biggl|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\varphi,\theta)}\biggr| =\rho^{2}\sin\varphi.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\iiint_{T}x\,dV =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{3} \bigl(\rho\sin\varphi\cos\theta\bigr)\, \rho^{2}\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Essa integral se separa em produto:
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta\;\times\; \int_{0}^{\pi}\sin^{2}\varphi\,d\varphi\;\times\; \int_{0}^{3}\rho^{3}\,d\rho.
Mas
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0,
logo todo o triplo integral vale 0.

Resposta

0

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