(2,5 pontos) Calcular \iiint_{T} x d V, sendo T a região delimitada por x^{2}+(y-3)^{2}+(z-2)^{2}=9. Sugestão: Fazer a mudança de variáveis para coordenadas esféricas através da fórmula \iiint_{\Gamma} f(x, y, z) d V=\iiint_{T^{\prime}} f(\rho \sin \varphi \cos \theta, 3+\rho \sin \varphi \sin \theta, 2+\rho \cos \varphi) \rho^{2} \sin \varphi d \rho d \varphi d \theta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iiint_{T} x\,dV
onde T é a bola de raio 3 centrada em (0,3,2), ou seja
T:\;x^{2}+(y-3)^{2}+(z-2)^{2}\le9.
O conteúdo é integração tripla em coordenadas esféricas (com centro deslocado) e usaremos o Jacobiano \rho^{2}\sin\varphi.

Passo 2

Fazemos a mudança sugerida:
\begin{cases} x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\\\ y=3+\rho\sin\varphi\sin\theta,\\\ z=2+\rho\cos\varphi, \end{cases}
com Jacobiano
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Em coordenadas (\rho,\varphi,\theta), a região T vira
0\le\rho\le3,\quad 0\le\varphi\le\pi,\quad 0\le\theta\le2\pi,
e o integrando x\,dV fica
x\,dV =\bigl(\rho\sin\varphi\cos\theta\bigr)\,\bigl(\rho^{2}\sin\varphi\bigl)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =\rho^{3}\sin^{2}\varphi\cos\theta\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Podemos separar a integral em três fatores:
\iiint_{T}x\,dV =\Bigl(\int_{0}^{3}\rho^{3}d\rho\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\varphi\,d\varphi\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta\Bigr).
Mas
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta =\bigl[\sin\theta\bigr]_{0}^{2\pi} =0,
logo todo o produto é zero.

Resposta

\iiint_{T}x\,dV=0.

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