\int_{0}^{1}\left(x^{2}+\sqrt{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}+\sqrt{x}\bigr)\,dx
O conteúdo principal é a propriedade da soma das integrais e a regra de potência para antiderivadas.

Passo 2

Usamos que
\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}+\sqrt{x}\bigr)\,dx =\int_{0}^{1}x^{2}\,dx+\int_{0}^{1}x^{\tfrac12}\,dx.

Passo 3

Para a primeira integral, aplicamos a regra de potência \int x^{n}dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1}:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.

Passo 4

Para a segunda integral, com n=\tfrac12:
\int x^{\tfrac12}\,dx = \frac{x^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32}.

Passo 5

Avaliaremos ambas de 0 a 1:
\int_{0}^{1}x^{2}\,dx = \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{3}-0 = \frac{1}{3},
\int_{0}^{1}x^{\tfrac12}\,dx = \left.\frac{2}{3}x^{\tfrac32}\right|_{0}^{1} = \frac{2}{3}-0 = \frac{2}{3}.
Somando os resultados:
\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1.

Resposta

1

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