Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral
Informações dadas: o integrando é o produto de um polinômio linear
e uma potência
. A nossa missão é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função.
Passo 2
Observação importante (pista para o método): o interior da potência é
. Vou calcular a derivada desse interior:
Repare que o fator linear do integrando é
, que é exatamente
. Quando a parte externa é uma potência de uma função e aparece a derivada da função interna (ou um seu múltiplo), o método natural é a substituição (substituição
) — isso é o “inverso” da regra da cadeia.
Passo 3
Fazemos a substituição. Defino
Então, derivando ambos os lados em relação a
,
Passo 4
Expressar o integrando em
. Como
, temos
Logo a integral original se transforma em uma integral em
:
Passo 5
Agora aplico a regra do poder para integrar em
: para
,
Aqui
, então
Passo 6
Volto para a variável
substituindo
:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): diferencio a resposta para checar. Usando a regra da cadeia,
e como
, obtemos exatamente o integrando inicial. A primitiva está correta.