\int(12 x+14)\left(3 x^{2}+7 x-1\right)^{5} \mathrm{~d} x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral
\int(12 x+14)\left(3 x^{2}+7 x-1\right)^{5}\mathrm{~d}x.
Informações dadas: o integrando é o produto de um polinômio linear 12x+14 e uma potência \left(3x^{2}+7x-1\right)^{5}. A nossa missão é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função.

Passo 2

Observação importante (pista para o método): o interior da potência é 3x^{2}+7x-1. Vou calcular a derivada desse interior:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(3x^{2}+7x-1\right)=6x+7.
Repare que o fator linear do integrando é 12x+14, que é exatamente 2(6x+7). Quando a parte externa é uma potência de uma função e aparece a derivada da função interna (ou um seu múltiplo), o método natural é a substituição (substituição u) — isso é o “inverso” da regra da cadeia.

Passo 3

Fazemos a substituição. Defino
u=3x^{2}+7x-1.
Então, derivando ambos os lados em relação a x,
\mathrm{d}u=(6x+7)\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Expressar o integrando em u. Como 12x+14=2(6x+7), temos
(12x+14)\,\mathrm{d}x=2(6x+7)\,\mathrm{d}x=2\,\mathrm{d}u.
Logo a integral original se transforma em uma integral em u:
\int(12 x+14)\left(3 x^{2}+7 x-1\right)^{5}\mathrm{~d}x=\int 2\,u^{5}\,\mathrm{d}u.

Passo 5

Agora aplico a regra do poder para integrar em u: para n\neq -1,
\int u^{n}\,\mathrm{d}u=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=5, então
\int 2\,u^{5}\,\mathrm{d}u=2\cdot\frac{u^{6}}{6}+C=\frac{u^{6}}{3}+C.

Passo 6

Volto para a variável x substituindo u=3x^{2}+7x-1:
\frac{u^{6}}{3}+C=\frac{\left(3x^{2}+7x-1\right)^{6}}{3}+C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): diferencio a resposta para checar. Usando a regra da cadeia,
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\left(3x^{2}+7x-1\right)^{6}}{3}\right)=\frac{6}{3}\left(3x^{2}+7x-1\right)^{5}\cdot(6x+7) =2\left(6x+7\right)\left(3x^{2}+7x-1\right)^{5},
e como 2(6x+7)=12x+14, obtemos exatamente o integrando inicial. A primitiva está correta.

Resposta

\frac{\left(3x^{2}+7x-1\right)^{6}}{3}+C

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