\int(2 x-5)\left(x^{2}-5 x+7\right)^{3} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (antiderivada) da função dada; isto é, resolver
\int(2 x-5)\left(x^{2}-5 x+7\right)^{3}\, \mathrm{d}x.
Informações dadas:
  • A variável de integração é x.
  • O integrando é o produto (2x-5) vezes \left(x^{2}-5x+7\right)^{3}.
  • Queremos uma expressão F(x) tal que F'(x)=(2x-5)\left(x^{2}-5x+7\right)^{3}, mais a constante de integração.

Passo 2

Ideia da técnica usada (explicação didática): quando vemos um integrando que é uma função composta elevada a uma potência e multiplicada pela derivada da parte interna, a substituição é a ferramenta mais direta. A substituição troca a variável complicada por uma variável mais simples, transformando a integral numa integral de potência direta. Não vamos pular passos: vamos definir a nova variável e calcular seu diferencial.
Defina
u = x^{2}-5x+7.
Agora calcule a derivada de u em relação a x:
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 2x-5.
Isto significa que, multiplicando por \mathrm{d}x,
\mathrm{d}u = (2x-5)\,\mathrm{d}x.
Observe que exatamente o fator (2x-5)\,\mathrm{d}x aparece no integrando — isso é a pista de que a substituição vai “encaixar” perfeitamente.

Passo 3

Faça a substituição na integral, trocando \left(x^{2}-5x+7\right) por u e (2x-5)\,\mathrm{d}x por \mathrm{d}u. A integral fica
\int (2x-5)\left(x^{2}-5x+7\right)^{3}\,\mathrm{d}x = \int u^{3}\,\mathrm{d}u.
Expliquei antes: o objetivo é reduzir para uma integral de potência simples; aqui conseguimos exatamente isso.

Passo 4

Agora integramos a potência. Lembrete da fórmula (aula curta): para n\neq -1,
\int u^{n}\,\mathrm{d}u = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Nesta integral temos n=3. Aplicando a fórmula:
\int u^{3}\,\mathrm{d}u = \frac{u^{4}}{4} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Volte à variável original x substituindo u = x^{2}-5x+7 de volta:
\frac{u^{4}}{4} + C = \frac{\left(x^{2}-5x+7\right)^{4}}{4} + C.
Sempre que fizer uma substituição em integrais indefinidas, não esqueça de voltar para x no final.

Passo 6

Verificação rápida (checagem por derivação): se derivarmos o resultado obtido usando a regra da cadeia, obtemos
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\left(x^{2}-5x+7\right)^{4}}{4}\right) = \frac{4\left(x^{2}-5x+7\right)^{3}}{4}\cdot(2x-5) = (2x-5)\left(x^{2}-5x+7\right)^{3},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\frac{\left(x^{2}-5x+7\right)^{4}}{4}+C

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