Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (antiderivada) da função dada; isto é, resolver
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - O integrando é o produto
vezes . - Queremos uma expressão
tal que , mais a constante de integração.
Passo 2
Ideia da técnica usada (explicação didática): quando vemos um integrando que é uma função composta elevada a uma potência e multiplicada pela derivada da parte interna, a substituição é a ferramenta mais direta. A substituição troca a variável complicada por uma variável mais simples, transformando a integral numa integral de potência direta. Não vamos pular passos: vamos definir a nova variável e calcular seu diferencial.
Defina
Agora calcule a derivada de
em relação a
:
Isto significa que, multiplicando por
,
Observe que exatamente o fator
aparece no integrando — isso é a pista de que a substituição vai “encaixar” perfeitamente.
Passo 3
Faça a substituição na integral, trocando
por
e
por
. A integral fica
Expliquei antes: o objetivo é reduzir para uma integral de potência simples; aqui conseguimos exatamente isso.
Passo 4
Agora integramos a potência. Lembrete da fórmula (aula curta): para
,
Nesta integral temos
. Aplicando a fórmula:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Volte à variável original
substituindo
de volta:
Sempre que fizer uma substituição em integrais indefinidas, não esqueça de voltar para
no final.
Passo 6
Verificação rápida (checagem por derivação): se derivarmos o resultado obtido usando a regra da cadeia, obtemos
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.