\int x\left(x^{2}+1\right)^{8} \mathrm{~d} x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a primitiva (integral indefinida) da função dada.
Informação fornecida: a integral é \displaystyle \int x\left(x^{2}+1\right)^{8}\mathrm{~d}x.
Objetivo final: encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=x\left(x^{2}+1\right)^{8}.

Passo 2

Observação importante (motivo da escolha do método): dentro da potência temos uma função composta, \left(x^{2}+1\right), e fora aparece exatamente a derivada (até constante) dessa função: \dfrac{d}{dx}\left(x^{2}+1\right)=2x. Quando vemos uma composição assim, a técnica mais direta é a substituição (também chamada de mudança de variável). Vou explicar isso passo a passo de forma amigável.
A ideia da substituição é: se u é a função interna, escrevemos u=x^{2}+1. Então calculamos o diferencial du.

Passo 3

Fazendo a substituição:
Defina \displaystyle u = x^{2}+1.
Então a derivada é \displaystyle \frac{du}{dx}=2x, ou seja em forma diferencial \displaystyle du=2x\,dx.
Isolando x\,dx temos \displaystyle x\,dx=\frac{1}{2}\,du.
Agora substituímos na integral original: \left(x^{2}+1\right)^{8}=u^{8} e x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du. Portanto a integral fica
\int x\left(x^{2}+1\right)^{8}\mathrm{~d}x = \int u^{8}\cdot\frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Colocando o fator constante fora da integral e deixando claro a operação:
\int u^{8}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{8}\,du.
Aqui usamos a regra de potência para integrais: para qualquer n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Explicando essa fórmula de forma simples: ao integrar, aumentamos o expoente em 1 e dividimos pelo novo expoente. Essa é a operação inversa da derivada de u^{n+1}, que traria um fator n+1 ao descer o expoente.

Passo 5

Aplicando a regra com n=8:
\int u^{8}\,du = \frac{u^{9}}{9} + C.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{2} que estava fora:
\frac{1}{2}\int u^{8}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{9}}{9} + C = \frac{u^{9}}{18} + C.

Passo 6

Voltando à variável original substituindo u=x^{2}+1:
\frac{u^{9}}{18} + C = \frac{\left(x^{2}+1\right)^{9}}{18} + C.

Passo 7

Verificação rápida (para ficar confiante): derivando a resposta obtida pelo método da cadeia deve voltar ao integrando.
Calculemos a derivada de \displaystyle F(x)=\frac{\left(x^{2}+1\right)^{9}}{18}:
F'(x)=\frac{1}{18}\cdot 9\left(x^{2}+1\right)^{8}\cdot 2x = x\left(x^{2}+1\right)^{8}.
Como retornou exatamente o integrando, a primitiva está correta. \n\nVocê conseguiu — esse tipo de integral costuma ser tranquila com a substituição certa; quando vir uma potência de uma expressão e fora dela a derivada dessa expressão (aqui x relacionado a 2x), já fica o alerta para usar u= expressão interna.

Resposta

\displaystyle \frac{\left(x^{2}+1\right)^{9}}{18}+C

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