Passo 1
O que o problema pede: calcular a primitiva (integral indefinida) da função dada.
Informação fornecida: a integral é .
Objetivo final: encontrar uma função tal que
.
Informação fornecida: a integral é
Objetivo final: encontrar uma função
Passo 2
Observação importante (motivo da escolha do método): dentro da potência temos uma função composta,
, e fora aparece exatamente a derivada (até constante) dessa função:
. Quando vemos uma composição assim, a técnica mais direta é a substituição (também chamada de mudança de variável). Vou explicar isso passo a passo de forma amigável.
A ideia da substituição é: se
é a função interna, escrevemos
. Então calculamos o diferencial
.
Passo 3
Fazendo a substituição:
Defina .
Então a derivada é , ou seja em forma diferencial
.
Isolando temos
.
Defina
Então a derivada é
Isolando
Agora substituímos na integral original:
e
. Portanto a integral fica
Passo 4
Colocando o fator constante fora da integral e deixando claro a operação:
Aqui usamos a regra de potência para integrais: para qualquer
,
Explicando essa fórmula de forma simples: ao integrar, aumentamos o expoente em 1 e dividimos pelo novo expoente. Essa é a operação inversa da derivada de
, que traria um fator
ao descer o expoente.
Passo 5
Aplicando a regra com
:
Multiplicando pelo fator
que estava fora:
Passo 6
Voltando à variável original substituindo
:
Passo 7
Verificação rápida (para ficar confiante): derivando a resposta obtida pelo método da cadeia deve voltar ao integrando.
Calculemos a derivada de :
Calculemos a derivada de
Como retornou exatamente o integrando, a primitiva está correta. \n\nVocê conseguiu — esse tipo de integral costuma ser tranquila com a substituição certa; quando vir uma potência de uma expressão e fora dela a derivada dessa expressão (aqui
relacionado a
), já fica o alerta para usar
expressão interna.