\int\left(3 x^{2}+2 x\right)\left(5 x^{3}+5 x^{2}+2\right)^{8} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(3 x^{2}+2 x\right)\left(5 x^{3}+5 x^{2}+2\right)^{8}\,\mathrm{d}x.
Informações dadas:
\text{Integrando: }\left(3 x^{2}+2 x\right)\left(5 x^{3}+5 x^{2}+2\right)^{8}.
Variável de integração: x.
A pergunta é: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x) seja o integrando.

Passo 2

Observação importante (pista): dentro do parêntese elevado aparece a expressão \left(5 x^{3}+5 x^{2}+2\right) e fora aparece um polinômio em x que pode estar relacionado à derivada dessa expressão interna. Vamos calcular a derivada da parte interna para verificar essa relação.
Calculemos a derivada de \left(5 x^{3}+5 x^{2}+2\right):
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(5 x^{3}+5 x^{2}+2\right)=15 x^{2}+10 x.
Note que 15 x^{2}+10 x é exatamente 5 vezes 3 x^{2}+2 x, isto é:
15 x^{2}+10 x = 5\bigl(3 x^{2}+2 x\bigr).
Essa coincidência indica que podemos reescrever o integrando extraindo esse fator 5 e fazer uma mudança que simplifica muito a integral.

Passo 3

Fazemos a substituição (método de troca de variável). Definimos a variável nova
u=5 x^{3}+5 x^{2}+2.
Calculamos o diferencial \mathrm{d}u. Como já calculamos a derivada:
\mathrm{d}u=(15 x^{2}+10 x)\,\mathrm{d}x.
Como 15 x^{2}+10 x = 5(3 x^{2}+2 x), isolamos (3 x^{2}+2 x)\,\mathrm{d}x:
(3 x^{2}+2 x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{5}\,\mathrm{d}u.

Passo 4

Reescrevemos a integral original em termos de u. Substituindo (3 x^{2}+2 x)\,\mathrm{d}x por \frac{1}{5}\,\mathrm{d}u e \left(5 x^{3}+5 x^{2}+2\right) por u, obtemos:
\int\left(3 x^{2}+2 x\right)\left(5 x^{3}+5 x^{2}+2\right)^{8}\,\mathrm{d}x = \int \frac{1}{5}\,u^{8}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{5}\int u^{8}\,\mathrm{d}u.

Passo 5

Agora aplicamos a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,\mathrm{d}u = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=8, portanto
\int u^{8}\,\mathrm{d}u = \frac{u^{9}}{9} + C.
Multiplicando pelo prefator \frac{1}{5} obtemos
\frac{1}{5}\cdot\frac{u^{9}}{9} + C = \frac{u^{9}}{45} + C.

Passo 6

Voltando à variável original x (substituindo u=5 x^{3}+5 x^{2}+2), a primitiva fica
\frac{\left(5 x^{3}+5 x^{2}+2\right)^{9}}{45} + C.
Podemos verificar rapidamente derivando essa expressão: ao derivar usamos a regra da cadeia e recuperamos exatamente \left(3 x^{2}+2 x\right)\left(5 x^{3}+5 x^{2}+2\right)^{8}, confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{\left(5 x^{3}+5 x^{2}+2\right)^{9}}{45}+C

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