Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
Variável de integração:
.
A pergunta é: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão tal que
seja o integrando.
A pergunta é: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão
Passo 2
Observação importante (pista): dentro do parêntese elevado aparece a expressão
e fora aparece um polinômio em
que pode estar relacionado à derivada dessa expressão interna. Vamos calcular a derivada da parte interna para verificar essa relação.
Calculemos a derivada de
:
Note que
é exatamente
vezes
, isto é:
Essa coincidência indica que podemos reescrever o integrando extraindo esse fator
e fazer uma mudança que simplifica muito a integral.
Passo 3
Fazemos a substituição (método de troca de variável). Definimos a variável nova
Calculamos o diferencial
. Como já calculamos a derivada:
Como
, isolamos
:
Passo 4
Reescrevemos a integral original em termos de
. Substituindo
por
e
por
, obtemos:
Passo 5
Agora aplicamos a regra de potência para integrais: para
,
Aqui
, portanto
Multiplicando pelo prefator
obtemos
Passo 6
Voltando à variável original
(substituindo
), a primitiva fica
Podemos verificar rapidamente derivando essa expressão: ao derivar usamos a regra da cadeia e recuperamos exatamente
, confirmando que a primitiva está correta.