Seja g(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}.
a) (1,0 \mathrm{pts}) Mostre que g^{\prime}(x)=\frac{r^{x^{2}}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}}.
b) ( 1,0 \mathrm{pts} ) Determine a equaçāo da reta tangente ao gráfico de g(x) correspondendo ao ponto x=0.

Passo 1

O enunciado dá a função g(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+1} e pede duas coisas:
  1. (a) Mostrar a derivada g'(x).
  2. (b) Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto x=0.
Informações relevantes fornecidas: a expressão de g(x) acima. Essas são exatamente as informações que usaremos.

Passo 2

Vamos lembrar uma regra para derivar quocientes — a regra do quociente — e entendê-la devagarinho, porque é a chave do item (a).
Se tivermos uma função definida como quociente
h(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
onde u e v são funções diferenciáveis e v(x)\neq 0, então a regra do quociente diz:
h'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.
Explicando o que cada símbolo significa:
  • u(x) é o numerador da fração; u'(x) é a derivada do numerador.
  • v(x) é o denominador da fração; v'(x) é a derivada do denominador.
  • O numerador da fórmula é a diferença entre “derivar o numerador e multiplicar pelo denominador” e “derivar o denominador e multiplicar pelo numerador”.
  • O denominador fica elevado ao quadrado.
Essa fórmula vem da regra do produto e da regra da cadeia aplicadas ao quociente; aqui vamos usá‑la diretamente e calcular passo a passo.

Passo 3

Identificamos em g(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+1} as funções
u(x)=e^{x}\quad\text{e}\quad v(x)=e^{x}+1.
Agora vamos calcular u'(x) e v'(x).
Lembre que a derivada da exponencial é ela mesma:
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Para v(x)=e^{x}+1, derivando termo a termo:
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}+1\bigr)=e^{x}+0=e^{x}.

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente:
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} =\frac{e^{x}\,(e^{x}+1)-e^{x}\cdot e^{x}}{\bigl(e^{x}+1\bigr)^{2}}.
Agora simplificamos o numerador cuidadosamente:
e^{x}\,(e^{x}+1)-e^{x}\cdot e^{x}=e^{x}\,e^{x}+e^{x}-e^{x}\,e^{x}=e^{x}.
Portanto:
g'(x)=\frac{e^{x}}{\bigl(e^{x}+1\bigr)^{2}}.
Isso conclui a parte (a): mostramos passo a passo como usar a regra do quociente e simplificar.

Passo 5

Agora vamos para o item (b): equação da reta tangente em x=0.
A fórmula da reta tangente à curva y=g(x) no ponto x=a é
y=g(a)+g'(a)\,(x-a).
Aqui g(a) é a ordenada do ponto de tangência e g'(a) é a inclinação (coeficiente angular) da reta.
No nosso caso a=0. Precisamos de g(0) e de g'(0).

Passo 6

Calculamos g(0):
g(0)=\frac{e^{0}}{e^{0}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Calculamos g'(0) usando a expressão de g'(x) que obtivemos:
g'(0)=\frac{e^{0}}{\bigl(e^{0}+1\bigr)^{2}}=\frac{1}{(1+1)^{2}}=\frac{1}{4}.

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula da reta tangente com a=0:
y=g(0)+g'(0)\,(x-0)=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}x.
Podemos escrever em forma mais habitual (forma afim / reduzida):
y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}.
Essa é a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto x=0.

Resposta

(a) g'(x)=\dfrac{e^{x}}{\bigl(e^{x}+1\bigr)^{2}}
(b) y=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}

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