Seja
.
a)
Mostre que
.
b) (
) Determine a equaçāo da reta tangente ao gráfico de
correspondendo ao ponto
.
a)
b) (
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Mostrar a derivada
. - (b) Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto .
Informações relevantes fornecidas: a expressão de
acima. Essas são exatamente as informações que usaremos.
Passo 2
Vamos lembrar uma regra para derivar quocientes — a regra do quociente — e entendê-la devagarinho, porque é a chave do item (a).
Se tivermos uma função definida como quociente
onde
e
são funções diferenciáveis e
, então a regra do quociente diz:
Explicando o que cada símbolo significa:
-
é o numerador da fração; é a derivada do numerador. -
é o denominador da fração; é a derivada do denominador. - O numerador da fórmula é a diferença entre “derivar o numerador e multiplicar pelo denominador” e “derivar o denominador e multiplicar pelo numerador”.
- O denominador fica elevado ao quadrado.
Essa fórmula vem da regra do produto e da regra da cadeia aplicadas ao quociente; aqui vamos usá‑la diretamente e calcular passo a passo.
Passo 3
Identificamos em
as funções
Agora vamos calcular
e
.
Lembre que a derivada da exponencial é ela mesma:
Para
, derivando termo a termo:
Passo 4
Aplicamos a regra do quociente:
Agora simplificamos o numerador cuidadosamente:
Portanto:
Isso conclui a parte (a): mostramos passo a passo como usar a regra do quociente e simplificar.
Passo 5
Agora vamos para o item (b): equação da reta tangente em
.
A fórmula da reta tangente à curva
no ponto
é
Aqui
é a ordenada do ponto de tangência e
é a inclinação (coeficiente angular) da reta.
No nosso caso
. Precisamos de
e de
.
Passo 6
Calculamos
:
Calculamos
usando a expressão de
que obtivemos:
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula da reta tangente com
:
Podemos escrever em forma mais habitual (forma afim / reduzida):
Essa é a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Resposta
(a)
(b)